Gyorskeresés

Pillanatnyi sebesség vs átlagsebesség 8885

Egyenletes mozgásnál a sebesség fogalma egyszerű, hiszen a mozgás bármely szakaszát nézzük is, az út és az eltelt idő hányadosa ugyanannyit ad eredményül, ezért egyenletes mozgásnál csak egyféle sebesség létezik.

Azonban ha a mozgás nem egyenletes, akkor megkülönböztetünk legalább két különböző sebességfogalmat:

  • átlagsebesség
  • pillanatnyi sebesség

Az  átlagsebesség  definíciója: a folyamat során megtett út osztva az eltelt idővel:

\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s}{\Delta t}\]

Az átlagsebesség fogalom előnye, hogy bármilyen mozgásra könnyen értemezhető és könnyen meghatározható. Hátránya, hogy olyan mozgások esetén, amikor a sebesség a folyamat során jelentős mértékben változik, olyankor az átlagsebesség nem túl informatív: nem sokat tudunk meg belőle a mozgás részleteiről, csak az egész mozgásról valamicskét, nagy vonalakban. Például hiába tudjuk, hogy Spanyolországból hazafelé jövet autózva az átlagsebessségünk mondjuk \(\displaystyle 90\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) volt. Ebből még semmit nem tudunk meg arról, hogy az út során hányszor és milyen hosszú időkre álltunk meg, sem hogy általában hány km/h-val haladtunk az autópályán, ahogy arról sem, hogy mekkora volt legnagyobb sebesség, amivel az út során száguldottunk.

Vegyük észre, hogy változó mozgásnál (szemben az egyenletes mozgással) már nem mindegy, hogy a mozgás melyik és milyen hosszú időtartamú szakaszát vesszük; ezek függvényében más-más átlagsebességeket kapunk.

Spec.
Ha a változó mozgás több egyenletes sebességű szakaszból áll össze (ez persze idealizált eset, hiszen ehhez a szakaszok határain ugrásszerúen kellene változnia a sebességnek, amihez végtelenül nagy gyorsulás kellene...), akkor az átlagsebesség a fenti definíción túl úgy is kiszámítható, hogy az egyes egyenletes szakaszok sebességeinek vesszük az időtartamokkal súlyozott átlagát. Például ha 2 órán keresztül haladtunk \(\displaystyle 60\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel, majd 3 órán keresztül \(\displaystyle 80\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel, akkor az átlagban a  \(\displaystyle 80\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) nagyobb súllyal kell szerepeljen, mivel több időn keresztül "érvényesült". Az átlagsebesség:

\[v_{\mathrm{átl}}=\mathrm{\frac{\displaystyle 60\ \frac{km}{h}\cdot 2\ h+80\ \frac{km}{h}\cdot 3\ h}{2\ h+3\ h}}\]

\[v_{\mathrm{átl}}=\mathrm{\frac{120\ km+240\ km}{5\ h}}\]

\[v_{\mathrm{átl}}=\mathrm{\frac{360\ km}{5\ h}}\]

\[v_{\mathrm{átl}}=\mathrm{72\ \frac{km}{h}}\]

És tényleg, az eredmény nem a két sebesség (60 és 80) között van "félúton" (70), hanem a 80-hoz közelebb, mert 80-nal hosszabb időn keresztül haladtunk, emiatt ez az átlagban nagyobb súllyal szerepel.
 

 A pillanatnyi sebesség 

 pillanatnyi sebesség  fogalom az átlagsebességből származtatható, nem más, mint egy "kellően" rövid időtartamra vett átlagsebesség. De mi az, hogy kellően rövid? Annyira rövid időtartamot, ami alatt a sebesség már állandó nagyságúnak vehető. Hogy ez a kellően rövid időtartam aztán milyen rövid, az attól függ, hogy milyen a mozgás, pontosabban milyen gyorsan változik a test sebessége. Például egyenletes mozgásnál a sebesség egyáltalán nem változik, ezért egyenletes mozgásnál bármekkora időtartamra vett átlagsebesség a pillanatnyi sebességet adja meg (vagyis egyenletes mozgásnál teljesen mindegy, milyen rövid vagy hosszú az időtartam; egy nagyon hosszú időtartam is már "kellően rövid"-nek számít). De változó mozgásnál már nem mindegy, hogy milyen hosszú a vizsgált \(\Delta t\) időtartam. Például ha egy sportkocsi \(\mathrm{4\ s}\) alatt felgyorsul \(\displaystyle 100\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességre, akkor átlagosan másodpercenként \(\displaystyle 25\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-val nő a sebessége. Ezért ha mi \(\displaystyle 1\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) pontossággal szeretnénk meghatározni a sportkocsi sebességét valamelyik pillanatban, ahhoz a "kellően rövid" időtartam nem lehet hosszabb \(\displaystyle \frac{1}{25}\ \mathrm{s}\)-nál. Vagyis legfeljebb \(\mathrm{0,04\ s}\)-os időtartam alatt megtett útját kellene megmérnünk valahogyan. Ennél is "durvább" eset, amikor egy pisztolyt elsütünk: olyankor a lövedék a csőben haladva kb. egy ezredmásodperc alatt gyorsul fel álló helyzetből a hatalmas (több \(\displaystyle 100\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-os) végsebességére, ezért ha azt szeretnénk tudni, hogy a lövedéknek mennyi a pillanatnyi sebessége adott helyen a csőben, akkor még ezredmásodpercnél is jóval rövidebb időtartamra kell vizsgálnunk a megtett útját.

Pillanatnyi sebességet mutat a járművek mechanikus "mutatós" sebességmérője ("kilométerórája"), amit közvetlenül az autó egyik tengelye forgat, így "azonnal reagál", ha a sebesség változik:

De természetesen csak akkor mutat a talajhoz képest helyes sebességet, ha a kerekek nem csúsznak a talajon, és a kerületük is pont akkora, amekkorával kalibrálták a műszert, nem pedig kisebb (a gumi kopásától), vagy nagyobb (mert a gyáritól eltérő futófelületű gumit raktunk a felnikre).

Viszont a digitális kilométerórák mindig átlagsebességet mutatnak: kiszámolják egy kis eltelt idő alatt a megtett út és az idő hányadosát (az utat szintén a tengely elfordulásából). Bár manapság már elég rövid időre vett átlagot vesznek (úgymond nagy a mintavétel gyakorisága, frekvenciája), ezért az eredményük a pillanatnyi sebességtől csak elhanyagolható mértékben tér el:

Jóval kevésbé mondható el ugyanez a bicók digitális sebességmérőjéről. Azokban ugyanis egy küllőre erősített kis mágnes újra és újra elhalad a vázra erősített érzékelő előtt, és hogy mennyi idő alatt történik ez meg, abból számolja az elektronika az átlagos sebességget (1 kör alatt itt is a kerék külső kerületét teszi meg a jármű). Természetesen egyenletes haladásnál ez a módszer is tud nagyon pontos lenni.