Gyorskeresés

Speciális derékszögű háromszögek (a 30°/60°-os és a 45°-os) 14687

A gimnáziumi fizikában már akkor kell erővektorokat komponensekre bontanunk, amikor még matekból nem volt szinusz, kosziusz. Ilyenkor csak olyan speciális hegyesszögek (\(30^\circ\) illetve \(60^\circ\) és \(45^\circ\)) esetén tudjuk ezt megtenni, amikor máshogyan (Pithagorasz-tétellel) kiszámolható az oldalak aránya.
 

 A félszabályos háromszög 

Félszabályos háromszöget egy szabályos háromszög "félbevágásával" kapunk. A szabályos háromszög oldalai azonos hosszúságúak, ebből következően a belső szöge mind egyformák, és hogy összesen kiadják a \(180^\circ\)-ot, mindegyikük \(60^\circ\). Ha egy ilyen szabályos háromszöget szimmetrikusan félbevágunk, akkor olyan derékszögű háromszöget kapunk, melynek \(30^\circ\) illetve \(60^\circ\) a másik két szöge:

A félszabályos háromszög rövidebbik befogója (az ábrán alul) feleakkora, mint az eredeti szabályos háromszög oldalai, így feleakkora, mint a félszabályos háromszög átfogója:

A félszabályos háromszög harmadik oldala (a hosszabbik befogó) az eredeti szabályos háromszögnek egy magasságvonala:

Ezt a magasságvonalat Pithagorasz-tétellel ki tudjuk számítani:

\[1^2+m^2=2^2\]

\[1+m^2=4\]

\[m^2=3\]

\[m=\sqrt{3}\approx 1,73\]

Ha nem a rövidebb befogóhoz  akarjuk viszonyítani a többi oldalt, hanem az átfogóhoz, akkor minden eddigi hosszt el kell osztanunk 2-vel:

 A "félnégyzet" (\(45^\circ\)-os derékszögű háromszög) 

Ha egy négyztetet az átlójánál félbevágunk, akkor egy speciális derészszögű háromszöget kapunk, melynek mindkét hegyesszöge \(45^\circ\)-os:

:

Az eredeti négyzet oldalát vegyük egységnyinek, az átlót pedig jelöljük \(e\)-vel:

A Pithagorasz-tétellel most is kiszámíthatjuk az ismeretlen \(e\) oldalt:

\[1^2+1^2=e^2\]

\[1+1=e^2\]

\[e=\sqrt{2}\approx 1,41\]

Ha pedig a \(45^\circ\)-os derékszögű háromszög átfogójához akarjuk viszonyítani a másik két oldalt (a egyforma befogókat), akkor minden eddigi számot el kell osztanunk \(\sqrt{2}\)-vel:

A matektanárok gyakori perverziója a törtek nevezőjének gyöktelenítése. Ha nem tudunk ellenállni eme mélyről jövő ösztönkésztetésnek, akkor az iménti oldalarány átírható a következő alakra:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]