A hang longitudinális mechanikai hullám, ezért "csupán" nyomásingadozást jelent. Hogyan lehet mennyiségileg jellemezni a hangot? Mivel minden függ a hang frekvenciájától is, ezért először is válasszuk ki önkényesen a kerek \(1000\ \mathrm{Hz}\) frekvenciájú hangot (egyébként az emberi fül a \(\approx 3000\ \mathrm{Hz}\) frekvenciára a legérzékenyebb).
A hallásküszöb
Hallásküszöb: adott frekvenciájú hangból a legkisebb erősségű, amit már épphogy érzékelünk
Fájdalomküszöb: adott frekvenciájú hangból olyan nagy erősségű, amit már nem hangként, hanem fájdalomként érzékelünk
Az \(1000\ \mathrm{Hz}\) frekvencián a hallásküszöb erősségű hanghullámok jellegzetes adatai:
| a molekulák amplitúdója (maximális kitérése) a hang miatt | \(A=1,1\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m}\) (a H-atom átmérőjének ötöde!) |
| a rezgés során a molekulák maximális sebessége \(v_{\mathrm{max}}=A\omega\) | \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}=7\cdot 10^{-8}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) |
| a nyomásingadozás maximális mértéke | \(p_{\mathrm{max}}=2\cdot 10^{-10}\ \mathrm{bar}=\) \(=2\cdot 10^{-5}\ \mathrm{Pa}\) |
| intenzitás (felületi teljesítménysűrűség) | \(\displaystyle J_0=10^{-12}\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\) |
A hangmagasság érzékeléséhez elegendő csupán 3 periódus, azaz \(0,003\ \mathrm{s}\).
Mivel lenne érdemes jellemezni a hang erősségét? Ehhez egy kis pszichofizikai alapozással kell kezdenünk.
Az érzékszervekkel kapcsolatos alapfogalmak
Az érzékszerveink érzősejtjei (receptorsejtjei) mindig valamilyen fizikai hatást érzékelnek, amit ingernek nevezünk, és amit műszerekkel is megmérhetünk (objektíven, tehát az embertől független). Az érzősejtek az inger hatására az idegszálakban elektromos impulzusokat indítanak, melyek a gerincvelőbe majd az agyba jutnak. Ott megtörténik ezen elektromos impulzusok feldolgozása, aminek eredményeképpen az ember valamit "érez", valamilyen észlelési élménye, pszchofizikai érzete, benyomása lesz. Ez sajnos nem mérhető objektív módon, hanem csak az emberek szubjektív beszámolóit rögzíthetjük, amik nem egységesek ("az ember a legrosszabb mérőműszer"). És nemcsak amiatt, mert vannak színvakok, meg sokaknak nincs zenei hallása, így nem tudja egyértelműen eldönteni, hogy jó hangmagasságot énekelnek-e vagy hamisat. Hanem két "egyforma ember" esetében is szubjektívek az élmények. Ha két embernek egy stúdiószobában bejátszunk egy búgást vagy sípolást, majd arra kérjük őket, hogy egy hangerőszabályzó segítségével álítsanak be az előzőnél kétszer erőssebb hangot, akkor nem pont ugyanakkora értéket fognak beállítani. Tehát a pszichofizikában a mennyiségeknek két, jelentősen különböző csoportja van:
| mennyiség | |||
| jele | típusa | leírása | példa |
| \(\phi_1;\ \phi_2\dots\) | ingerek | objektíven (műszerrel) mérhető fizikai mennyiségek | amplitúdó |
| \(\psi_1;\ \psi_2\dots\) | érzetek | csak szubjektíven "mérhetőek" (emberi beszámolók alapján) | hangerősség |
Bár manapság a határ kezd kissé elmosódni, ugyanis az agyi területek aktivitását vizsgáló módszerekkel az "érzetet" is egyre inkább mérhetjük objektíven.
Egy pszichofizikai érzet mindig függvénye az objektív fizikai mennyiségeknek:
\[\psi_1=f(\phi_1,\ \phi_2,\ \phi_3\dots)\]
Az abszolút küszöbinger
Ideális körülményekről akkor beszélünk, ha nincsenek (zavaró) háttéringerek, például hang esetében egy teljesen zajmentes "süketszobában" vagyunk, vagy látásvizsgálat esetén teljesen sötét szobába, sötétre akkomodált (alkalmazkodott) szemmel. Abszolút küszöbingernek a minimálisan szükséges ingert nevezzük, mely érzet kiváltását eredményezi. Példa: \(f=1000\ \mathrm{Hz}\) frekvenciájú hang esetén ha a dobhártyára jutó hanghulámok teljesítménye négyzetméterenként \(10^{-12}\ \mathrm{W}\). Mivel a dobhártya felülete \(A\approx 1\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\ \mathrm{m^2}\), ezért ez azt jelenti, hogy a dobhártyára \(P=10^{-8}\ \mathrm{W}\) teljesítmény jut, vagyis másodpercenként \(10^{-8}\ \mathrm{J}\) energia érkezik rá a hang révén.
A relatív küszöbinger (különbségérzékenység)
Ha egy fizikai ingert nagyon kis mértékben megváltioztatunk (akár megnöveljük, akár lecsökkentjük) akkor azt még ugyanolyannak érzékeljük, hasonlóan ahhoz, mint amikor egy mérlegen rajta van \(2\ \mathrm{kg}\) alma, a mérleg kiírja hogy \(2000\ \mathrm{g}\), majd rászórunk egy csipet sót, és még mindig ugyanúgy \(2000\ \mathrm{g}\)-ot ír ki. Nem érzékeli a különbséget.
Bármely \(\phi\) fizikai inger (háttérintenzitás) esetén van egy ettől a legkisebb mértékben különböző \(\phi_{\mathrm{r}}\) inger, melyet az emberi érzékszerv már meg tud attól különböztetni. A két inger különbségét, a \(\Delta \phi\) ingernövekedést hívjuk relatív küszöbingernek:
\[\Delta \phi=\phi_{\mathrm{r}}-\phi\]
A Weber-törvény
Weber azt tapasztalta az 1830-as években, hogy a különféle emberi érzékelésfajták mindegyikénél fennáll, hogy a relatív küszöbinger egyenes arányos a háttérintenzitással. Ez a Weber-törvény:
\[\Delta \phi \sim \phi\]
vagyis 2-szer, 3-szor erősebb inger esetén 2-szer, 3-szor nagyobb ingernövekedést tudunk csak megkülönböztetni az eredetitől. Ugyanezt a gondolatot az egyenes arányosságnak a "hányadosuk állandó" formájában felírva:
\[\frac{\Delta \phi}{\phi}=\mathrm{konst.}=k\]
ahol \(k\) az ún. Weber-tört, mely a különféle érzékszervekre eltérő:
| érzékelés fajtája | \(k\) |
| Látás (fényerősség) | 0,016 |
| Hallás (hangosság) | 0,091 |
| Hallás (hangmagasság) | 0,003 |
| Nyomásérzékelés ujjbegyen | 0,022 |
| Ízlelés (sós) | 0,083 |
| Elektromos áramütés | 0,013 |
Ez azt jelenti, hogy bármekkora fényerősséget minimum 1,6%-kal kell megnövelni, hogy már nagyobb fényességűnek érzékeljük, tehát például 1%-kal nagyobb fényerősséget még ugyanakkorának érzékelünk. Hangnál pedig minimum 9,1%-os növekedés kell, hogy már hangosabbnak halljuk. (Valójában a Weber-tört értéke nemcsak attól függ, hogy milyen fajta ingert és érzetet nézünk, például hanghullámnak a hangerősségét, hanem például annak frekvenciájától is, tehát oda kellene írni, hogy mekkora frekvencián történt a mérés.)
De mindez még semmit nem mond arról, hogy a már megkülönböztethetően nagyobb fizikai inger konkrétan mennyivel (pontosabban hányszorosan) erősebb érzetet kelt bennünk.
A Stevens-törvény
Stevens amerikai pszichológus 1957-ben publikálta az érzékelés "hatványtörvényét" (Stevens's power law), miszerint a \(\psi\) érzet egyenesen arányos a \(\phi\) fizikai inger valamilyen kitevőjű hatványával, ahol az \(a\) hatványkitevő az érzékelés fajtája szerint valamekkora állandó érték:
\[\psi=k\cdot \phi^a\]
tehát az "érzet-inger függvény" egy valamilyen kitevőjű hatványfüggvény. A \(k\) konstans (állandó) arányossági tényező a \(\psi\) és a \(\phi\) mértékegységeitől függ. Az \(a\) "Stevens-kitevő" értéke néhány érzékre:
| Érzetfajta | \(a\) |
| Hangosság (a hangnyomás függvényében) | 0,67 |
| Fényerősség | 0,5 |
| Ízerősség (só) | 1,4 |
| Erő érzékelése (izommal) | 1,7 |
Ha a Stevens-kitevő \(a>1\), akkor az érzet az inger függvényében egyre meredekebben növekvő görbe, \(a=1\) esetén lineáris, \(a<1\) esetben pedig az inger függvényében egyre leposodó:
Az, hogy az 1-nél kisebb vagy pedig a nagyobb kitevőjű függvény van-e a lineáris alatt, ez attól függ, hogy az inger tengelyen az 1-nél kisebb vagy az 1-nél nagyobb tartományban vagyunk. Az inger 1-es értéke után az 1-nél nagyobb hatványkitevőjű függvények az \(a=1\) kitevőjű lineáris függvény fölé kerülnek, az 1-nél kisebb kitevőjű függvények pedig a lineáris alá. Úgy is mondhatjuk, hogy \(\phi = 1\)-nél a különböző kitevőjű függvények "áthurkolódnak". Az érzet-inger függvényfajták viszonya az 1-nél nagyobb ingerértékekre már egyszerűbb: \(\phi=1\) fölött vagy egyenletesen növekvő (\(a=1\)), vagy egyre meredekebben növekvő (\(a>1\)), vagy egyre inkább ellaposodó (\(a<1\)).
Az alábbi grafikon mérési pontokra illesztett függvényeket mutat, és mivel az inger tengelyen \(\phi=1\) a legkisebb érték, ezért a \(\phi=1\) helyen történő "áthurkolódások" nem is látszódnak:
Ha mind az inger, mind az érzet tengely logaritmikus skálájú, akkor mindegyik kitevőjű érzet-inger függvény egyenes:
Legyünk őszinték, a Stevens-törvényt lényegében az alábbi (eléggé kézenfekvő) előfeltevésekből már elkerülhetetlenül kiadják:
- a függvény induljon az origóból (hisz nulla inger nulla érzetet kelt)
- a függvény legyen szigorúan monoton növekvő (hiszen a nagyobb inger mindig nagyobb érzetet kelt)
- a függvény ne legyen "extrém" alakú (ne legyen benne mondjuk törés, azaz hirtelen változó derivált)
- a föggvény ne legyen túl komplikált, hanem valami egyszerű, elemi függvény
Ezeket a kritériumokat máris szinte csak a hatványfüggvények elégítik ki.
A fül, mint mérőműszer "átfogóképessége" (dinamikája)
Az emberi fül \(1000\ \mathrm{Hz}\) frekvencián már \(\displaystyle J_0=10^{-12}\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\) intenzitást már érzékelni képes (hallásküszöb), a fájdalomküszöbe pedig \(\displaystyle J_{\mathrm{F}}=10\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\), ami 13 nagyságrendnyi, azaz tízezermilliárdszoros különbség. Ez azt jelenti, hogy a fül olyan műszer, mintha egy \(0,1\ \mathrm{kg}\) pontosságú fürdőszobai személymérleg még képes lenne a legkisebb érzékelhető tömegnél \(10^{13}\)-szor nagyobbat, azaz 1 milliárd tonnát is lemérni. Nem semmi teljesítmény.
A decibelskála
Mivel az emberi hallás során mindenféle hang esetén a legalább 9,1%-kal nagyobb intenzitásút vagyunk képesek hangosabbnak érzékelni, ezért nem az a fontos, hogy mennyivel nagyobb az egyik intenzitás a másiknál, hanem hogy hányszor nagyobb. Ezért a különböző intenzitásoknak nem a különbsége, hanem az aránya az érdekes. Mivel azonban a szóba jöhető intenzitások \(10^{13}=10000000000000\)-szorosan különböznek, azaz 13 nagyságrendet fognak át, ezért ha az intenzitásarányoknak érdemes a 10-es alapú logaritmusát vesszük, akkor 13-szoros a legnagyobb eltérés:
\[X=\log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)\]
Ezt a "logaritmizált intenzitásarányt" hívjuk \(\mathrm{bel}\)-nek, aminek jele \(\mathrm{B}\). Tehát \(1\ \mathrm{B}\) azt jelenti, hogy az aktuális \(J\) intenzitás 10-szer nagyobb, mint a referencia \(J_0\) hallásküszöb intenzitása. A \(3\ \mathrm{B}\) pedig azt jelenti, hogy az aktuális \(J\) intenzitás \(10^3=1000\)-szer nagyobb, mint a referencia \(J_0\) hallásküszöb intenzitása.
A \(\mathrm{bel}\) "viszonyszámegységnek" a tizedrésze, a \(\mathrm{decibel=dB}\) is használatos:
\[X_{\mathrm{dB}}=10\cdot \log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)\ \mathrm{dB}\]
Ennek oka egyrészt az, hogy a 13 "lépés" helyett 130 legyen, ami "finomabb" skálát jelent, másrészt az emberi hallásban kb. ekkora, \(1\ \mathrm{dB}\) intenzitásarányt vagyunk képesek hangosabbnak érzékelni. Hányszoros intenzitás is ez?
\[1\ \mathrm{dB}=0,1\ \mathrm{B}\]
\[0,1\ \mathrm{B}=\log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)\]
A hatványfüggvény szigorúan monoton tulajdonsága miatt ez az egyenlőség csak úgy lehetséges, ha mindkét oldalt 10-es alapú hatvány kitevőjébe téve is azonosak:
\[10^{0,1}=10^{\log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)}\]
\[1,26=\frac{J}{J_0}\]
vagyis \(1\ \mathrm{dB}\) azt jelenti, hogy az inger 26%-kal nagyobb, mint a referencia.
Tehát a "nulla decibel" nem teljes csendet jelent, hanem azt, hogy az inger \(10^0=1\)-szer akkora, mint a referenciainger, vagyis azonos vele.
A "negatív deciben érték" nem negatív ingert jelent, hanem a referenciaértéknél kisebb ingert. Például a \(-3\ \mathrm{dB}\) jelentése:
\[-3\ \mathrm{dB}=-0,3\ \mathrm{B}\]
\[-0,3\ \mathrm{B}=\log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)\]
A hatványfüggvény szigorúan monoton tulajdonsága miatt ez az egyenlőség csak úgy lehetséges, ha mindkét oldalt 10-es alapú hatvány kitevőjébe téve is azonosak:
\[10^{-0,3}=10^{\log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)}\]
\[0,5=\frac{J}{J_0}\]
vagyis a \(-3\ \mathrm{dB}\) azt jelenti, hogy a referenciánál 50%-kal kisebb, fele akkora.
Az emberi fül spektrális érzékenysége
Az emberi hallás eltérően érzékeny a különféle frekvenciákra, a legérzékenyebb a \(3000\ \mathrm{Hz}\) körüli frekvenciákra. Az alábbi ábrán azt látjuk, hogy az \(1000\ \mathrm{Hz}\) frekvencia hallásküszöbét vették referencia internzitásnak, azaz \(0\ \mathrm{dB}\)-ne. A legalsó piros görbe azt mutatja, hogy ehhez viszonyítva mekkora intenzitások jelentik a hallásküszöböt a többi frekvencián. A többi görbe pedig az \(1000\ \mathrm{Hz}\)-es frekvenciából, \(10\ \mathrm{dB}\)-es lépésekben egyre nagyobb intenzitásokból indul ki, és ezzel azonos hangosságúnak érzett intenzitásokat mutat mindenféle egyéb frekvencián. Az ábrát úgy is hívják, hogy "az azonos, illetve egyenlő hangosság görbéi".
