Ha egy \(V_0\) térfogatú test \(p_0\) nyomású környezetben van, aztán a környezet nyomása megnő, akkor ennek hatására a test valamennyire összenyomódik, összepréselődik. Illetve ha a környezet nyomása csökken, akkor a test valamennyire kitágul. Betűkkel jelölve mindezt: ha a környezeti nyomás \(\mathit{\Delta}p\)-vel megváltozik, akkor ennek hatására a test térfogata \(\mathit{\Delta}V\)-vel fog megváltozni. A \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozás nem annyira beszédes mennyiség, mert ha egy kezdetben \(1\ \mathrm{m^3}\) térfogatú test helyett \(2\ \mathrm{m^3}\) vagy \(3\ \mathrm{m^3}\) térfogatút présel össsze ugyanazon nyomásnövekedés, akkor azoknak nyilván 2-szer illetve 3-szor kisebb lesz a \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozásuk. Ezért az összenyomódást (kompressziót) vizsgálva a \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozás helyett érdemesebb az egységnyi térfogatú test térfogatváltozását figyelni, amit relatív térfogatváltozásnak hívunk. Képlettel:
\[\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
A tapasztalat szerint nem túl nagy nyomásváltozások esetén a \(\mathit{\Delta}p\) nyomásváltozás és a relatív térfogatváltozás egyenesen arányosak:
\[\mathit{\Delta}p \sim \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
Hogy mi számít nem túl nagy nyomásnak, amikor az arányosság még fennáll, az anyagfajtánként eltérő. Ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor ők csak egy (arányossági tényezőnek nevezett) konstans szorzóban térhetnek el egymástól. Ilyenkor az egyenlet bal vagy jobb oldalára is tehetjük a konstanst. Ha a bal oldalra tesszük:
\[\kappa \cdot \mathit{\Delta}p=\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
akkor a $\kappa$ arányossági tényező neve kompresszibilitási együttható. Ha a jobb oldalra:
\[\mathit{\Delta}p=K\cdot \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
akkor a $K$ arányossági tényező neve kompressziómodulus (kompressziós modulus, bulk modulus). Most ez utóbbi jelölést fogjuk használni.
Tekintettel arra, hogy nyomásnövekedés esetén a \(\mathit{\Delta}p\) nyomásváltozás pozitív, ami térfogatcsökkenést okoz, vagyis negatív \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozást, így aztán negatív \(\displaystyle \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\) relatív térfogatváltozást, ezért a fenti formában az egyenlőség csak akkor teljesülhetne, ha a $K$ arányosségi tényező negatív lenne, de mivel ezt nem szeretnénk, ezért inkább az egyenletbe írjuk bele a negatív előjelet:
\[\mathit{\Delta}p=-K\cdot \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
Ez a kompressziót leíró egyenlet. Kirendezve az egyenletből a $K$ kompressziómodulust, megkapjuk a jelentését:
$$K=-\frac{\mathit{\Delta}p}{\frac{\mathit{\Delta V}}{V}}$$
azaz a $K$ megmutatja, hogy egy kis relatív térfogatváltozás (pl. 1%-kal történő összepréselésnél a relatív térfogatváltpzás 0,01) ennél hányszor nagyobb nyomásnövekedés hatására következik be. Tehát ha az egyik anyag $K$ értéke nagyobb a másikénál, az azt jelenti, hogy nagyobb nyomásnövekedés szükséges adott relatív térfogatváltozás eléréséhez.
A víz összenyomhatósága
A \(25\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletű, \(1\ \mathrm{bar}\) nyomású víz esetén
\[K=2,2\ \mathrm{GPa}=2,2\cdot 10^{9}\ \mathrm{Pa}\]
vagyis ha vizet úgy próbálunk összenyomni, hogy duplájára növeljük a nyomást, azaz a nyomásnövekedés a normál légnyomással egyenlő:
\[\mathit{\Delta}p=10^5\ \mathrm{Pa}\]
akkor ettől a relatív térfogatváltozása:
\[10^5\ \mathrm{Pa}=-2,2\cdot 10^9\ \mathrm{Pa} \cdot \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
amiből
$$\frac{\mathit{\Delta V}}{V}=2\cdot 10^{-5}=0,02\%$$
ami tényleg szinte semmi, nagyon nehezen észlelhető térfogatváltozás.
Mekkora nyomásnövekedés hatására nyomódik össze a víz \(1\%\)-kal?
\[\mathit{\Delta}p=-2,2\cdot 10^9\ \mathrm{Pa} \cdot \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
\[\mathit{\Delta}p=-2,2\cdot 10^9\ \mathrm{Pa} \cdot (-0,01)\]
\[\mathit{\Delta}p=2,2\cdot 10^7\ \mathrm{Pa}\]
$$\mathit{\Delta}p=220\ \mathrm{bar}$$
Gázok összenyomhatósága
Tudjuk, hogy állandó hőmérsékleten (izoterm folyamatban) duplájára kell növelni a nyomást, hogy a gáz a kezdeti térfogata felére összepréselődjön. Ez alapján az ideális gázok $K$ komressziómodulusa normál állapotból indulva:
\[\mathit{\Delta}p=-K\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
$$10^5\ \mathrm{Pa}=-K\cdot \frac{-0,5V}{V}$$
$$10^5\ \mathrm{Pa}=-K\cdot (-0,5)$$
$$K=2\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$$
Azt kaptuk, hogy a normál állapotú ideális gázok kompressziómodulusa kb. 4 nagyságrenddel kisebb, mint a vízé, azaz a folyadékoké, tehát normál állapotú ideális gázt nagyságrendileg tízezerszer kisebb nyomással lehet ugyanakkora (kis) relatív térfogatváltozásra rávenni, mint a vizet.
Az egyenletek érvényessége
Igazából az itteni
\[\kappa=-\frac{\mathit{\Delta V}}{V\cdot \mathit{\Delta}p}\]
\[K=-\frac{\mathit{\Delta}p}{\displaystyle \left(\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\right)}\]
egyenletek szigorú értelemben csak "kellően" kicsi térfogat- és nyomásváltozásokra érvényesek, ami során a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezések között az egyenes arányosság még fennáll.
Egyetemi szinten pedig már végtelenül kicsiny (infinitezimális) megváltozásokkal írják fel ezeket az egyenleteket:
\[\kappa=-\lim_{\mathit{\Delta}p \to 0}\frac{\mathit{\Delta V}}{V\cdot \mathit{\Delta}p}\]
\[K=-\lim_{\mathit{\Delta}V \to 0}\frac{\mathit{\Delta}p}{\displaystyle \left(\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\right)}\]