Ha egy \(V_0\) térfogatú test \(p_0\) nyomású környezetben van, aztán a környezet nyomása megnő, akkor ennek hatására a test valamennyire összenyomódik, összepréselődik. Illetve ha a környezet nyomása csökken, akkor a test valamennyire kitágul. Betűkkel jelölve mindezt: ha a környezeti nyomás \(\mathit{\Delta}p\)-vel megváltozik, akkor ennek hatására a test térfogata \(\mathit{\Delta}V\)-vel fog megváltozni. A \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozás nem annyira beszédes mennyiség, mert ha egy kezdetben \(1\ \mathrm{m^3}\) térfogatú test helyett \(2\ \mathrm{m^3}\) vagy \(3\ \mathrm{m^3}\) térfogatút présel össsze ugyanazon nyomásnövekedés, akkor azoknak nyilván 2-szer illetve 3-szor kisebb lesz a \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozásuk. Ezért az összenyomódást (kompressziót) vizsgálva a \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozás helyett érdemesebb az egységnyi térfogatú test térfogatváltozását figyelni, amit relatív térfogatváltozásnak hívunk. Képlettel:
\[\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
A tapasztalat szerint nem túl nagy nyomásváltozások esetén a \(\mathit{\Delta}p\) nyomásváltozás és a relatív térfogatváltozás egyenesen arányosak:
\[\mathit{\Delta}p \sim \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
Hogy mi számít nem túl nagy nyomásnak, amikor az arányosság még fennáll, az anyagfajtánként eltérő. Ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor ők csak egy (arányossági tényezőnek nevezett) konstans szorzóban térhetnek el egymástól. Ha az arányossági tényezőt a görög \(\kappa\) betűvel jelöljük:
\[\kappa \cdot \mathit{\Delta}p=\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
Tekintettel arra, hogy nyomásnövekedés esetén a \(\mathit{\Delta}p\) nyomásváltozás pozitív, ami pedig térfogatcsökkenést okoz, vagyis negatív \(\mathit{\Delta}V\) térfogatváltozást és negatív \(\displaystyle \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\) relatív térfogatváltozást, ezért a fenti formában az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha a \(\kappa\) arányosségi tényező negatív. De mivel ezt nem szeretnénk, ezért inkább az egyenletbe írjuk bele a negatív előjelet:
\[\kappa \cdot \mathit{\Delta}p=-\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
Ez a kompressziót leíró egyenlet. A benne szereplő \(\kappa\) arányosségi tényezőt kompresszibilitásnak (kompresszibilitási együtthatónak) hívjuk. Ezt kirendezve az egyenletből megkapjuk a \(\kappa\) jelentését, mérési utasítását:
\[\kappa=-\frac{\mathit{\Delta V}}{V\cdot \mathit{\Delta}p}\]
azaz a \(\kappa\) megmutatja, hogy egységnyi térfogatú test egységnyi nyomásnövekedés hatására mekkora térfogatváltozást szenved el, vagy másképp fogalmazva: egységnyi nyomásnövekedés hatására mekkora relatív térfogatváltozás következik be. Tehát ha az egyik anyag \(\kappa\) értéke nagyobb a másikénál, az azt jelenti, hogy jobban megváltozik a térfogata, tehát "ööszenyomhatóbb". Míg az "összenyomhatatlan" anyagok esetén a \(\kappa\) nagyon kicsi.
A víz összenyomhatósága
A \(25\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletű, \(1\ \mathrm{bar}\) nyomású víz esetén
\[\kappa=4,4\cdot 10^{-10}\ \mathrm{\frac{1}{Pa}}\]
vagyis ha vizet úgy próbálunk összenyomni, hogy duplájára növeljük a nyomást, azaz a nyomásnövekedés a normál légnyomással egyenlő:
\[\mathit{\Delta}p=10^5\ \mathrm{Pa}\]
akkor ettől a relatív térfogatváltozása:
\[\kappa \cdot \mathit{\Delta}p=\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
\[4,4\cdot 10^{-10} \cdot 10^5=\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
\[\frac{\mathit{\Delta V}}{V}=4,4\cdot 10^{-5}=0,0044\%\]
ami tényleg szinte semmi.
Mekkora nyomásnövekedés hatására nyomódik össze a víz \(1\%\)-kal?
\[\kappa \cdot \mathit{\Delta}p=\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
\[4,4\cdot 10^{-10} \cdot \mathit{\Delta}p=\frac{1}{100}\]
\[4,4\cdot 10^{-10} \cdot \mathit{\Delta}p=10^{-2}\]
\[\mathit{\Delta}p=2,3\cdot 10^7\ \mathrm{Pa}=230\ \mathrm{bar}\]
Gázok összenyomhatósága
Tudjuk, hogy állandó hőmérsékleten (izoterm folyamatban) duplájára kell növelni a nyomást, hogy a gáz a kezdeti térfogata felére összepréselődjön. Ez alapján az ideális gázok \(\kappa\) kompresszibilitása normál állapotból indulva:
\[\kappa \cdot \mathit{\Delta}p=\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
\[\kappa \cdot 10^5=\frac{\displaystyle \frac{V_0}{2}}{V_0}\]
\[\kappa=\frac{1}{2}\cdot 10^{-5}\]
\[\kappa=5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{\frac{1}{Pa}}\]
Azt kaptuk, hogy a normál állapotú ideális gázok kompresszibilitása (összenyomhatósága) kb. 5 nagyságrenddel nagyobb, mint a vízé, azaz a folyadékoké. Egyébként a szilárd testek kompresszibilitása még a folyadékokénál is tipikusan 2 nagyságrenddel kisebb.
A \(K\) kompressziómodulus
Egy anyag kompressziós viselkedését a \(\kappa\) helyett szokás annak reciprokával is jellemezni:
\[K=\frac{1}{\kappa}\]
amivel az egyenlet
\[\mathit{\Delta}p=-K\cdot \frac{\mathit{\Delta V}}{V}\]
alakot ölti. A \(K\) neve kompressziómodulus (angolul bulk modulus), aminek a jelentése kiolvasható, ha kirendezzük:
\[K=-\frac{\mathit{\Delta}p}{\displaystyle \left(\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\right)}\]
vagyis a \(K\) fordított logikájú, mint a \(\kappa\): nem azt mutatja, hogy mennyire fog megváltozni a térfogat a nyomásváltozástól, hanem hogy mekkora nyomásváltozás kell a térfogatváltozás kicsikarásához. Tehát a nagyobb \(K\) esetén nagyobb nyomásnövekedés szükséges ugyanolyan relatív térfogatváltozáshoz, tehát \(K\) úgymond az anyagnak az összepréseléssel szembeni "ellenállását" mutatja. Összenyomáskor a \(K\) amiatt nem fogalmazható meg a definíciós egyenlet alapján a szokásos módon "egységnyi relatív térfogatváltozásra eső nyomásváltozás" formában, mert az egységnyi relatív tárfogatváltozás fizikailag értelmetlen, hiszen ahhoz a térfogatváltozásnak azonos nagyságúnak kellene lennie a kezdeti térfogattal, vagyis az anyagot annyira össze kellene nyomni, hogy "eltűnjön".
Az egyenletek érvényessége
Igazából az itteni
\[\kappa=-\frac{\mathit{\Delta V}}{V\cdot \mathit{\Delta}p}\]
\[K=-\frac{\mathit{\Delta}p}{\displaystyle \left(\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\right)}\]
egyenletek szigorú értelemben csak "kellően" kicsi térfogat- és nyomásváltozásokra érvényesek, ami során a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezések között az egyenes arányosság még fennáll.
Egyetemi szinten pedig már végtelenül kicsiny (infinitezimális) megváltozásokkal írják fel ezeket az egyenleteket:
\[\kappa=-\lim_{\mathit{\Delta}p \to 0}\frac{\mathit{\Delta V}}{V\cdot \mathit{\Delta}p}\]
\[K=-\lim_{\mathit{\Delta}V \to 0}\frac{\mathit{\Delta}p}{\displaystyle \left(\frac{\mathit{\Delta V}}{V}\right)}\]