Kezdősebességről gyorsulás 

Nézzünk egy gyakorlati példát: az autóval egyenletes sebességgel haladunk, majd egyszer csak rálépünk a gázra, és ettől időben egyenletesen növekszik a sebességünk. Egyenletes sebességváltozás esetén a \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) sebesség-idő diagram képe egy egyenes szakasz lesz (melynek meredeksége a gyorsulást adja meg), de mivel most van \(v_0\) kezdősebességünk, ezért a grafikon kezdetben, a \(t=0\) időpillanatban már a "\(v_0\) magasságból" indul:

A mozgás során megtett \(s\) út mindig a \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) sebesség-idő diagram függvénye alatti terület:

Ez egy trapéz alakú terület, ami két résztre bontható, egy téglalapra és egy derékszögű háromszögre:

A kék színű téglalap azt az utat mutatja, amennyit a test megtett volna, ha mindvégig a \(v_0\) kezdősebességgel haladt volna egyenletesen, azaz ha nem változott volna a sebessége, nem lett volna gyorsulása. Ez a sebesség és az eltelt idő szorzataként számítható, hiszen a sebesség pont az egységnyi idő alatt megetett utat jelenti:

\[s_{\mathrm{egyenletes}}=v_0\cdot t\]

A sárga derékszögű háromszög pedig azt az utat mutatja, amit akkor tett volna meg, ha kezdősebesség nélkül végezte volna a gyorsuló mozgását, amely "kezdősebesség nélküli egyenletes gyorsuló mozgásra" a négyzetes úttörvény érvényes.

\[a_{\mathrm{gyorsuló}}=\frac{1}{2}a\cdot t^2\]

A test által megtett út ennek a két útnak az összege:

Egyenlettel a kezdpősebességes, egyenletesen változó mozgás útja:

\[\boxed{s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a\cdot t^2}\]

Mivel az ember jobban figyel a változó képekre, ezért mindezt rögzítsük AnimGIF-fel:

 Kezdősebességről lassulás 

Nézzük azt az esetet, amikor egy autóval \(v_0\) kezdősebességgel haladunk, aztán egyszer csak fékezésbe kerdünk, és ettől időben egyenletesen csökken a sebességünk!

Most is igaz, hogy a mpzgás során megtett \(s\) út a függvény alatti terület:

A kezdősebességről gyorsuló mozgásnál kék színnel berajzoltuk azt a területet, amennyi utat megtett volna az autó, ha mindvégig a kezdősebességgel haladt volna, ezt tegyük most is meg:

De ennyit nem tett meg az autó, hiszen lassult, csökkent a sebessége. Pontosan mennyivel kevesebbet tett meg? Erre egy derékszögű háromszöget látunk:

A sárga derékszögű háromszög pont "lefelé tükörképe" a kezdősebesség nélküli egyenletesen gyorsuló mozgás grafikonjának, ezért a területe azonos vele, vagyuis a négyzetes úttörvénnyel számítható. Így a kezdősebességes, egyenletesen lassuló moözgás úttörvényére ezt kaptuk:

\[\boxed{s=v_0\cdot t-\frac{1}{2}a\cdot t^2}\]

A vizuális rögzítéshez ismét egy AnimGIF-et használunk:

 A két úttörvény "egyesítése" 

A két túttörvény igen hasonló, mindössze a jobb oldalon a második tag előjele tér el. Igazából nincs is szükség külön két esetre, hanem azt is mondhatjuk, hogy pozitív iránynak válasszuk ("természetes módon") a sebesség irányát. Ez esetben ha a test növeli a sebességét, akkor a gyorsulása is ilyen irányú, ezért annak előjele is pozitív. Ha pedig a test csökkenti a sebességét (lassít), akkor a gyorsulása a sebességgel ellentétes irányű, így a gyorsulás negatív előjelű. Ha ennek szellemében írjuk be a gyorsulás számérétékét (előjelhelyesen), akkor a kezdősebességes egyenletesen változó mozgás úttörvénye mindig ez:

\[\boxed{s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a\cdot t^2}\]