Váltakozó feszültség (áramerősség) effektív értéke alatt azt az egyenfeszültséget (egyenáramot) értjük, mely energetikai szempontból "ugyanolyan hatású", mint a váltakozó áram. Konkrétan amely egy \(R\) ohmikus fogyasztón azonos idő alatt ugyanakkora Joule-hőt fejleszt. Mivel a Joule-hő teljesítménye
\[P=\frac{U^2}{R}=I^2\cdot R\]
ezért az effektív feszültség a váltakozó feszütség (áramerősség) négyzetének időbeli átlaga (ezt hívják négyzetes középnek is, angolul RMS, root mean square). Tehát az effektív érték nem a feszültség (áram) időbeli átlagát jelenti. Szinuszos függvénynél az időbeli átlag egyenesen nulla, ennek ellenére a szinuszos villamos hálózatról működő villanybojler, vasaló, grillsütő stb elég komoly hőt tud fejleszteni (mert a szinusznégyzet-függvény időbeli átlaga már nem nulla).. Mivel az effektív értékben a feszültség (áram) négyzete szerepel, emiatt az effektív érték szempontjából a potenciálesés iránya (illetve az áram iránya) lényegtelen.
Megjegyzés: Az effektív értékek definícióját szokás úgy is fogalmazni, hogy a "munkavégzés" szempontjából egyenértékű egyenfeszültséget, egyenáramot jelenti. Ha ohmikus fogyasztóra feszültséget kapcsolunk, akkor az elektromos mező valóban végez munkát, nevezetesen a mozgóképes töltéseken, vagyis az áramvezetést megvalósító, elmozduló delokalizált elektronokon. De az ohmikus fogyasztóban a munkavégzés által kissé felgyorsuló vezetési elektronok az így kapott energiát újra és újra szétszórják környezetükben, a rácsatomokkal ütközések révén (disszipáció). igazából két ütközés között az elektromos mező munkája kicsit felgyorsítja őket, aztán a "felszedett" mozgási energiát hamar el is vesztik (hiszen szobahőmérsékleten nagyságrendileg 40 ezer milliárdszor ütköznek másodpercenként. Vagyis az elektromos mező munkavégzésének eredménye szinte folyamatosan hővé alakul, úgyhogy mi már csak a hőfejlődést tudjuk mérni. Emiatt nem személetes az effektív értékek definícióiban "munkavégzésről" beszélni. Ha itt összemossuk a munka és a hő fogalmát, akkor a hőtanban izzasztó lesz szétválasztani.
Ha az AC feszültség illetve áram az időben tetszőleges alakú \(U(t)\) illetve \(I(t)\) függvény szerint változik, akkor a feszültség (áram) maximum értéke és effektív értéke között nem létezik általánosan érvényes összefüggés, mely egyszerű szabályként, képletként működne. Viszont vannak, olyan esetek, melyekben gimis szinten is meghatározhatók az effektív értékek.
1. spec.: Időben állandó szakaszokból álló függvény
Ha a feszültség (áram) időbeli függvénye olyan szakaszokra bontható, melyek során állandó a függvény értéke, akkor szakaszokra bontva számolhatunk. Nézzünk egy konkrét példát!
Ez három szakaszra osztható fel. Írjuk fel, hogy az effektív egyenáram (DC) által egy \(R\) ohmikus ellenálláson a teljes folyamat során fejlesztett Joule-hő ugyanannyi, mint amennyit a váltakozó (AC) áramunk fejleszt ugyanazon ellenálláson ugyanannyi idő alatt.
\[P_{\mathrm{DC}}\cdot (\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3)=P_1\cdot \Delta t_1+P_2\cdot \Delta t_2+P_3\cdot \Delta t_3\]
Alkalmazzuk a \(P=I^2\cdot R\) összefüggést:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot R\cdot (\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3)=I_1^2\cdot R\cdot \Delta t_1+I_2^2\cdot R\cdot \Delta t_2+I_3^2\cdot R\cdot \Delta t_3\]
Az \(R\) ellenállással egyszerűsíthetünk:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot (\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3)=I_1^2\cdot \Delta t_1+I_2^2\cdot \Delta t_2+I_3^2\cdot \Delta t_3\]
A grafikonról leolvashatjuk az adatokat
| \(I_1=3\ \mathrm{A}\) | \(I_2=0\ \mathrm{A}\) | \(I_3=-2\ \mathrm{A}\) |
| \(\Delta t_1=5\ \mathrm{s}\) | \(\Delta t_2=3\ \mathrm{s}\) | \(\Delta t_3=8\ \mathrm{s}\) |
Beírva:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot (5\ \mathrm{s}+3\ \mathrm{s}+8\ \mathrm{s})=(3\ \mathrm{A})^2\cdot 5\ \mathrm{s}+(0\ \mathrm{A})^2\cdot 3\ \mathrm{s}+(-2\ \mathrm{A})^2\cdot 8\ \mathrm{s}\]
Mivel mindent SI-egységben írtunk be, a mértékegységeket elhagyhatjuk.
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot 16=3^2\cdot 5+0^2\cdot 3+(-2)^2\cdot 8\]
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot 16=45+0+32\]
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot 16=77\]
\[I^2_{\mathrm{eff}}\approx 4,8\]
\[I_{\mathrm{eff}}\approx 2,19\ \mathrm{A}\]
Az ilyen, állandó szakaszokból álló váltakozó áramra nem alkalmazható a szinuszos esetekre érvényes
képlet, mely most következik.
2. spec.: szinuszos függvények
Szinuszos függvénynek számít a koszinusz is, hiszen ők csak időben vannak eltolva egymáshoz képest, de tökéletesen ugyanolyan alakú függvények. Az ipari alkalmazásokban igen gyakori a szinuszos időbeli változás: az egész villamos hálózat szinuszos váltakozó feszültségekkel, áramokkal működik. A szinuszfüggvény matematikailag nem bonyolult, ezért erre a speciális, de igen gyakori esetre szerencsére levezethető egyszerű szabály, mely a csúcsértéket (maximumot) és az effektív értéket összekapcsolja:
\[U_{\mathrm{eff}}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\]
\[I_{\mathrm{eff}}=\frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\]
Európában a villamos hálózat effektív feszültsége a végfelhasználóknál \(230\ \mathrm{V}\), így a feszültség csúcsértéke:
\[U_{\mathrm{max}}=\sqrt{2}\cdot 230\ \mathrm{V}\approx 325\ \mathrm{V}\]
Levezetés
Szinuszos feszültség és áram effektív értéke trigonometriával és integrálással elvégezhető; most csak az áramerősség esetére vezetjük le. Az effektív egyenáram (DC) és a váltakozó áram (AC) teljesítménye az \(R\) ohmikus fogyasztón azonos kell legyen:
\[P_{\mathrm{DC}}=P_{\mathrm{AC}}\]
Egy teljesítmény által fejlesztett \(Q\) Joule-hő:
\[Q=\int{P} \, dt\]
Egy \(T\) periódusidőre nézve:
\[P_{\mathrm{DC}}\cdot T=\int P_{\mathrm{AC}} \, dt\]
\[I^2_{\mathrm{eff}}R\cdot T=\int_{0}^{T} I^2(t)\cdot R \, dt\]
Az \(R\) ellenállással egyszerűsíthetünk:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\int_{0}^{T} I^2(t) \, dt\]
Az áramerősségünk időfüggése szinuszos:
\[I(t)=I_{\mathrm{max}}\cdot \sin{(\omega t)}\]
Ezt beírva:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\int_{0}^{T} \left[I_{\mathrm{max}}\cdot \sin{(\omega t)}\right]^2 \, dt\]
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\int_{0}^{T} I_{\mathrm{max}}^2\cdot \sin^2{(\omega t)} \, dt\]
Felhasználva a
\[\sin^2 x=\frac{1}{2}(1-\cos{2x})\]
trigonometrikus összefüggést, az integrál így írható:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\int_{0}^{T} I_{\mathrm{max}}^2\cdot \frac{1}{2}(1-\cos{(2\omega t)}) \, dt\]
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\frac{I_{\mathrm{max}}^2}{2} \cdot \int_{0}^{T} (1-\cos{(2\omega t)}) \, dt\]
Az integrált szétbontva:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\frac{I_{\mathrm{max}}^2}{2} \cdot \left[\int_{0}^{T} 1 \, dt -\int_{0}^{T}\cos{(2\omega t)}) \, dt\right]\]
Az első integrál értéke a \(T\) periódusidő. A második integrál a koszinuszfüggvényt (már nem a négyzetét!) integrálja, két teljes periódusra, ami a pozitív és negatív tartományok váltakozása miatt nulla. Így:
\[I^2_{\mathrm{eff}}\cdot T=\frac{I_{\mathrm{max}}^2}{2}\cdot T\]
Amiből a periódusidővel egyszerűsítve és gyökvonással megkapjuk az összefüggést:
\[I_{\mathrm{eff}}=\frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\]
A digitális multiméterek régebben egy váltakozó feszültség vagy áram effektív értékét úgy határozták meg, hogy lemérték a csúcsértéket, és annak vették a valahányad részt, attól függően, hogy a jelalak milyen volt (szinusz, négyszög, háromszög, fűrészfog stb). Később megjelentek a "True RMS" (valódi négyzetes közép) feliratú műszerek, melyek először felveszik a tetszőlegesen váltakozó jel időbeli függvényét, abból előállítják a függvény négyzetét, majd idő szerint kiintegrálják, végül gyököt vonnak, tehát korrektül elvégzik az effektív érték számítását.