Paradoxonok, a Monty Hall-paradoxon

 A paradoxonokról általában 

A paradoxonnak nincs egységes definíciója, mert különféle paradoxonok léteznek. A gimis fizikában az ókori görög Zénón mozgással kapcsolatos paradoxonjai kerülnek elő, ezért a paradoxonok ezen fajtájára illeszkedő definícióval azért előállunk:

A paradoxonok egy része esetén az ellentmondásból van kiút, ami megszünteti azt, ezt hívjuk a paradoxon "feloldásának", amihez "csak" alaposan át kell gondolni mindent. A feloldásoknak 3 csoportja van:

• valamelyik kiinduló feltevés mégsem igaz mindig
• a gondolatmenetünk valamelyik logikai lépése nincs rendben
• az első blikkre lehetetlennek tűnt végeredmény állítás mégis igaz

A fenti, elvont definíció után nézzünk egy konkrét paradoxont, mely szemléletes és alaposan kitárgyalható a feloldása is.  
 

 Egy egyszerű paradoxon: "Lassan járj, tovább érsz!" 

Ez a közmondás első ránézésre egyrészt hülyeség, hiszen pont, hogy gyorsabban járva lehet tovább érni (azonos eltelt idő alatt).

Ennek a paradoxonnak a feloldása: az agyunk hajlamos egyszerűsítő feltevésekkel élni, még olyankor is, amikor az alaptalan. Jelen esetben a (kimondatlan) egyszerűsítő feltevésünk az, hogy a kezdeti tempót, sebességet mindvégig fogjuk is tartani. Pedig az életben ez sokszor nem sikerül. Ugyanis ha sietünk, azzal megnő az esélye az olyan fejleményeknek, amitől lelassulunk vagy akár megállunk, így aztán tényleg kevésbé messzire érünk el, mintha közepes tempóban - de azt stabilan tartva - haladtunk volna végig. Sietve az alábbi lassító tényezők jelentkezhetnek:

• balesetet szenvedünk
• padló gázzal hajtva felforr a hűtővíz
• gyorsan futva a vége előtt kifáradunk, így azok, akik jobban beosztották az erejüket, a vége előtt utolérnek és lehagynak minket
• száguldozva a rendőr is megállíthat... 
   

 A Monty Hall-paradoxon 

Ez egy szofisztikáltabb, de nagyon izgalmas paradoxon. A feladványban 3 csukott ajtó mögött van elrejtve egy-egy nyeremény, egy drága személykocsi, valamint egy-egy kecske; a cél a kocsi megszerzése. 

A játékosnak először választania kell egy ajtót. Ezután a játékvezető (aki tudja, hogy melyik ajtó mögött mi van) a másik két ajtó közül kinyit egyet, méghozzá egy olyat, ami mögött kecske van (ha a játékos a kocsit rejtő ajtót választotta, akkor a játékvezető a két, kecskét rejtő ajtó közül véletlenszerűen nyitja ki az egyiket, míg ha a játékos az egyik kecskét rejtő ajtót választotta, akkor a játékvezető csak egyféle lehetősége van ajtónyitásra, a másik kecskés ajtó). Ezután a játékos lehetőséget kap, hogy módosítsa az eredeti ajtóválasztását, ha akarja. Vajon megéri módosítania a korábbi döntést, vagy inkább ragaszkodjon az eredeti döntéséhez, vagy pedig mindegy, mit tesz? 
 

 A megoldás (nyerő stratégia) 

A megoldás gondolatmenete (lásd alább) arra jut, hogy érdemes megváltoztatni a kezdeti döntésünket, mert a módosítással növeljük a nyerési esélyünket, méghozzá jelentősen, a duplájára. Konkrétan ha módosítunk, akkor 2/3 valószínűséggel nyerünk, míg ha nem módosítunk, akkor a nyerési esélyünk csak 1/3 lesz.

A paradoxon abban áll, hogy "a józan paraszti eszünk" azt diktálja, hogy mivel kezdetben minden ajtó mögé egyforma eséllyel került a kocsi (mindhárom ajtónál 1/3  az esély) Aztán az egyik kecskés ajtó kinyitása után a maradék két csukott ajtó szintén azonos eséllyel rejti a főnyereményt (1/2 eséllyel). Ennek a "logikázásunknak" ellent mond a megoldás, miszerint a csukva maradt két ajtó nem egyforma, hanem különböző eséllyel rejti az autót. Vajon mi a kiút, a paradoxon feloldása? 
 

 Levezetés 

A megoldás gondolatmenete a következő. Vegyük számba az összes lehetséges esetet! Az általános esetet nem csorbítja, ha azt mondjuk, hogy kezdetben mindig válasszuk a bal oldali ajtót. Ekkor három eset lehetséges, attól függően, hogy a kocsi a bal, a középső vagy a jobb ajtó mögött van, és a három eset azonos valószínűségű:

Az I. esetben akkor nyerünk, ha nem módosítunk, azaz a módosítással itt rosszul járnánk. De a II. és III. esetekben a módosítás révén kaparinthatjuk meg a kocsit. Márpedig a három eset valószínűsége azonos, így tehát módosítással az esetek 2/3-ában nyerünk, míg ha nem módosítunk, akkor csak az esetek 1/3-ában nyerünk. Nézzük mindezt lépésről-lépésre:

Azt is végig lehet gondolni, hogy mi történik, ha nem hiszünk a megoldásnak, és "csakazértis" ragaszkodunk mindig az eredeti ajtóválasztásunkhoz. Ez esetben a nyerési esélyünk csupán 1/3-nak adódik:

 A paradoxon feloldása 

Most már értjük a helyes megoldást, de ezzel nem jutottunk még el a Nirvánába, hiszen tisztázni kell, hogy a "józan eszünk" sugallta taktika (miszerint tök mindegy, hogy módosítunk-e az ajtóválasztásunkon, vagy sem), miért nem jó. Hol a hiba benne?

Ha mindegy, melyiket választjuk a még csukott két ajtó közül, akkor azonos eséllyel kell lennie mögöttük a kocsinak. De mekkorák ezek az azonos esélyek? 1/3 és 1/3 vagy 1/2 és 1/2? Nézzük sorban!

1/3 nem lehet, hiszen ez esetben a kocsi a még esélyes ajtók mögött összesen 2/3 valószínűséggel lenne, márpedig a kocsi biztosan van valahol a két maradék ajtó közül, úgyhogy a valószínűségek összegének pontosan 1-et kell kiadnia (hiszen a kinyitott ajtó mögött nincsen, így ott a kocsi valószínűsége nulla). 

De 1/2 sem lehet, mert ez a gondolatmenet azt feltételezi, hogy mindkét, csukva maradt ajtóra nézve ugyanolyan információt jelentett a játékvezető ajtónyitása, mivel mindkettejük esélye 1/3-ról 1/2-re nőtt. Csakhogy az elsőnek kiválasztott ajtóról az ajtónyitás semmilyen információt nem nyújt, hanem csak a másodikról, hiszen a játékvezető csak a másik kettő közül nyithat ki egyet (az általunk választott ajtót nem nyithatja ki). De pontosan milyen információt is nyújt a játékvezető ajtónyitása (hangsúlyosan csak a nem választott, és végül csukva maradt ajtóra vonatkozóan)?

Kezdetben az ajándékokat véletlenszerűen helyezik el az ajtók mögé, ezért minden ajtónál 1/3 a valószínűsége, hogy mögötte van a kocsi. Emiatt bármely két ajtóra fennáll, hogy mögöttük összesen 2/3 valószínűséggel van az áhított verda. Ezért amikor a játékos kezdetben választ egy ajtót, akkor a másik kettő ajtó mögött összesen 2/3 valószínúséggel bújik meg a kocsi. Namost, ha ebből az egyiket kinyitja a játékvezető (márpedig csak közülük nyithat), akkor az erre a két ajtóra fennálló 2/3 valószínűség továbbra is fennáll kettejükre, csakhogy az már teljes egészében az egyikre (azaz a csukva maradt ajtóra) jut rá, hiszen a másik ajtóról már kiderült, hogy mögötte kecske van. Vagyis a játékvezető tudása és ajtónyitása azt árulja el az esélyekről, hogy a nem választott, és még csukott ajtó mögött 2/3 valószínűséggel van a kocsi. A szintén zárva lévő, kezdetben választott ajtóról a "kecsekemutogató" ajtónyitás nem árul el semmit, így rá nézve továbbra is 1/3 a valószínűsége, hogy mögötte rejtőzik a kocsit. A kapott eredmények összhangban vannak azzal, hogy biztosan van valahol egy darab kocsi, így a valószínűségek összegének pontosan 1-et kell adnia. A feladvány nehézségét pont ez adja, hogy az ajtónyitás az egyik csukva maradt ajtóról elmond valamit, míg a másik csukva lévőről (a kezdetben kiválasztottról) semmi új információt nem mond.

A megoldás megértését, vagy inkább elfogadását, megemésztését segíti, ha elképzeljük a játék módosított változatát, melyben 100 ajtó mögött van egyesével szétosztva 1 kocsi és 99 kecske. A játékos ajtóválasztása után a játékvezető a többi 99 ajtó közül kinyit 98 olyan ajtót, melyek mögött kecske van. Megéri váltanunk? Igen, hiszen az általunk eredetileg választott ajtó mögött csupán 1/100 eséllyel van az járgány, a többi 99 ajtó mögött pedig összesen 99/100 eséllyel volt, de miután ebből a 99 ajtóból 98-ról kiderül, hogy mögöttük kecske van, így a 99/100 esély mind az egyetlen, még csukott ajtóra jut. Vagyis a nyerési esélyünk drsztikusan, 99-szeresen növekszik, ha megváltoztatjuk a döntésünket!

Sokakat még ez sem győz meg, hanem csak attól hiszik el a furcsa megoldás helyességét, ha sokszor "lejátsszák" az egészet, és saját szemükkel tapasztalják meg, hogy ha módosítják az ajtóválasztási döntésüket, akkor hosszú távon 2/3 eséllyel nyernek, míg ha ragaszkodnak az eredeti ajtóválasztásukhoz, akkor csak 1/3 eséllyel. Itt illetve itt lehet online játszani ezt, folyamatosan nyomon követve a statisztikáinkat.