A gimnáziumi fizikában már akkor kell erővektorokat komponensekre bontanunk, amikor még matekból nem volt szinusz, kosziusz. Ilyenkor csak olyan speciális hegyesszögek (\(30^\circ\) illetve \(60^\circ\) és \(45^\circ\)) esetén tudjuk ezt megtenni, amikor máshogyan (Pithagorasz-tétellel) kiszámolható az oldalak aránya.
A félszabályos háromszög
Félszabályos háromszöget egy szabályos háromszög "félbevágásával" kapunk. A szabályos háromszög oldalai azonos hosszúságúak, ebből következően a belső szöge mind egyformák, és hogy összesen kiadják a \(180^\circ\)-ot, mindegyikük \(60^\circ\). Ha egy ilyen szabályos háromszöget szimmetrikusan félbevágunk, akkor olyan derékszögű háromszöget kapunk, melynek \(30^\circ\) illetve \(60^\circ\) a másik két szöge:
A félszabályos háromszög rövidebbik befogója (az ábrán alul) feleakkora, mint az eredeti szabályos háromszög oldalai, így feleakkora, mint a félszabályos háromszög átfogója:
A félszabályos háromszög harmadik oldala (a hosszabbik befogó) az eredeti szabályos háromszögnek egy magasságvonala:
Ezt a magasságvonalat Pithagorasz-tétellel ki tudjuk számítani:
\[1^2+m^2=2^2\]
\[1+m^2=4\]
\[m^2=3\]
\[m=\sqrt{3}\approx 1,73\]
Ha nem a rövidebb befogóhoz akarjuk viszonyítani a többi oldalt, hanem az átfogóhoz, akkor minden eddigi hosszt el kell osztanunk 2-vel:
A "félnégyzet" (\(45^\circ\)-os derékszögű háromszög)
Ha egy négyztetet az átlójánál félbevágunk, akkor egy speciális derészszögű háromszöget kapunk, melynek mindkét hegyesszöge \(45^\circ\)-os:
:
Az eredeti négyzet oldalát vegyük egységnyinek, az átlót pedig jelöljük \(e\)-vel:
A Pithagorasz-tétellel most is kiszámíthatjuk az ismeretlen \(e\) oldalt:
\[1^2+1^2=e^2\]
\[1+1=e^2\]
\[e=\sqrt{2}\approx 1,41\]
Ha pedig a \(45^\circ\)-os derékszögű háromszög átfogójához akarjuk viszonyítani a másik két oldalt (a egyforma befogókat), akkor minden eddigi számot el kell osztanunk \(\sqrt{2}\)-vel:
A matektanárok gyakori perverziója a törtek nevezőjének gyöktelenítése. Ha nem tudunk ellenállni eme mélyről jövő ösztönkésztetésnek, akkor az iménti oldalarány átírható a következő alakra:
\[\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]