Állóhullámok húron

Megfesztett húr esetében nincs értelme a "szabad vég"-nek, ezért csak a "mindkét végén rögzített húr"-t vizsgáljuk.

Képzeletben indítsunk el (a hullámforrással) az \(L\) hosszúságú húr egyik végéről egy \(f\) frekvenciájú hullámot! Korábban láttuk, hogy rögzített végnél a hullám azonos fekvenciával verődik vissza, és az eredeti hullámhoz képest

• azonos amplitúdóval
• ellentétes fázisúra változva

Nézzük, mi történik, ha két azonos amplitúdójú, azonos frekvenciájú hullám "szembe találkoznak"? Figyeljük meg, milyen kitérések jönnek létre az egyes helyeken:

Azt látjuk, hogy van olyan hely, (ilyen a középen lévő, mozdulatlan fekete pötty helye), ahol a két hullám minden pillanatban ellentétes kitérésű, így az összegük mindig nulla, kioltjátk egymást. Viszont van olyan hely is, ahol a két hullám mindig azonos fázisban találkozik (ilyen a fel-le mozgó fekete pötty helye), ezért mindig erősítik egymást. Az eredmény egy állóhullám, melynek vannak folyamatosan nyugalomban lévő pontjai (ezeket csomópontoknak hívjuk) és olyan pontjai is, melyeknél a kitérés az eredeti amplitúdók összege, vagyis ahol a kitérés jó nagy (ezeket duzzadóhelyeknek hívjuk). A kialakuló állóhullámban két csomópont távolsága ugyanannyi, mint az eredeti hullámokban két, nulla kitérésű pont távolsága, vagyis ami félhullámhossz nagységú.

Milyen frekvenciájú hullámot kell elindítani, hogy a húron állóhullám alakuljon ki? A húr végei rögzítve vannak, azaz a szélső pontok kitérése mindig nulla, ezért a két végen csak csomópontok lehetnek. Ezért állóhullám esetén a félhullámhossz pontosan egész számszor kell, hogy ráférjen a húrra:

Mindez egyenletben:

\[L=n\cdot \frac{\lambda}{2}\]

Ezt a \(\lambda\) hullámhosszra kirendezve megkapjuk a kialakuló állóhullámok hullámhosszait:

\[\lambda=2L\cdot \frac{1}{n}\]

A kialakuló állóhullámok frekvenciáit pedig a \(c=\lambda\cdot f\) egyenlet segítségével kapjuk:

\[f=\frac{c}{\lambda}\]

\[f=\frac{c}{2L}\cdot n\]

 Módusok, alaphang, felhangok 

A fent tárgyalt különféle frekvenciájú, hullámhosszúságú rezgési módokat állóhullám módusoknak nevezzük. A legkisebb frekvenciájú módus az alaphang, a többi frekvenciát felhangoknak, felharmonikusoknak nevezzük. A felhangok frekvenciája mindig egész számú többszöröse az alaphangénak. Egy húr rezgésénél hiába van sokféle frekvenciájú állóhullám egyszerre, tehát sokféle frekvencia jut a fülünkbe, és a különféle frekvenciákat különféle hangmagasságúnak halljuk, ilyenkor az agyunk kielemzi és rájön, hogy itt minden frekvencia ugyanannak az egész számú többszöröse, ezért végül mi csak egyféle hangmagasságot hallunk, az alaphangét. A felhangok intenzitásainak aránya a hangszínt dönti el, például hogy gitárhúr hangot hallunk, vagy hegedűt, zongorát stb.

A módusokat szokás sorszámozni úgy, hogy az alaphang az 1. módus, a következő frekcenciájú a 2. módus stb. Látható, hogy a csomópontok (node-ok) száma mindig 1-gyel nagyobb, mint a módus sorszáma. Másik sorszámozási lehetőség, hogy az alaphang a "nulladik felhang", vagyis a 2. módus az 1. felharmonikus, a 3. módus a 2. felharmonikus stb. 
 

 Egy másik levezetés 

Ha a két, szemben haladó hullám összegzése nehezen elképzelhető számunkra, akkor van más lehetőség is. Más szemléletben leírva mindezt, az állóhullám kialakulásának feltétele az, hogy egy elindított hullámot erősítsen a visszaverősések révén "hozzá, mellé visszaérkező, vele együtt haladó" hullám. Ez azt jelenti, hogy az elindított hullámot úgy tekintjük, mintha egy hullámforrás gerjesztené, folyamatosan bocsátaná ki, és megnézzük, hogy a húr végein zajló egy-egy visszaverődés után "az eredeti hullám erősítésére pályázó" hullámok mikor lesznek az erősítéshez szükséges állapotban, azonos fázisban vele. Mivel mindkét visszaverőség rögzített végen történik, mindkettőnél egy fázisugrás lép fel, de a kettő összege már nulla fázisugrás, vagyis a fáziseltolódás szempontjából tökéletesen kioltják egymás hatását. Ahhoz, hogy a két visszaverős után újra előrefelé haladó hullám azonos fázisban legyen az eredetivel, az kell, hogy az oda-vissza haladás során pont ugyanabba a fázisba kerüljön vissza. Egy hullámban az ugyanolyan fázisú pontok hullámhossznyi távolságban vannak, pontosabban szólva akárhány hullámhossz távolságban azonos fázisú pontokat találunk. Tehát az oda-vissza út vagy pont egy hullámhossznyi kell legyen, vagy pedig pont egész számszorosa a hullámhossznak. Egy oda-vissza út a húr \(L\) hosszának duplája, így:

\[2L=n\cdot \lambda\]

ahonnan ugyanúgy:

\[\lambda=2L\cdot \frac{1}{n}\]

 A hangmagasság változtatása húr "lefogása" révén 

Ha a húrt a közepénél lefogjuk, akkor a hullámterjedés szempontjából fele hosszúságúra változik. Milyen frekvenciájú hangok fognak így kialakulni rajta? Az eddigi képlet alapján:

\[f=\frac{c}{2L}\cdot n\]

Látjuk, hogy ha a húr \(L\) hossza a felére csökken, akkor minden frekvencia a duplájára növekszik, így a hangmagasságot meghatározó alaphangé is. A dupla frekvenciát oktávnak nevezzük. Más frekvenciaarányoknak is van külön nevük:
 

Ez alapjján ha a húr lefogásával az üres húrnál nagy terccel magasabb hangot szeretnénk elérni, akkor \(5:4=1,25\)-ször nagyobb frekvenciára van szükségünk. Ehhez 1,25-ször kisebb húrhosszra van szükség, azaz a húrt a \(4:5\) részénél kell lefogni.