Bevezető
Kepler a bolygómozgással kapcsolatos törvényeit a Nap körül keringő bolygókra mondta ki, de valójában bármilyen égi objektumra érvényesek, ha az lényegében csak egy másik égitest centrális gravitációs mezejét érzékeli (azaz amikor a vonzócentrum által kifejtett gravitációs erőhöz képest a többi, rá ható erő elhanyagolhatóan kicsi). Tehát a Kepler-törvények egyaránt érvényesek:
- a Nap körül keringő bolygókra, kisbolygókra (aszteroidákra), törpebolygókra (pl. Pútó), üstökösökre, törmelékre
- a Föld körül keringő objektumokra (Hold, műholdak, űrhajók, űrállomások, az űrszemét apró darabkái)
- a többi bolygó körül keringő holdakra (a Jupitermek kb. 80 holdja van) és törmelékre (pl. a Szaturnusz gyűrűit alkotó kődarabok)
- az exoblygókra (a Naprendszeren kívüli csillagok körül keringő bolygókra)
Kepler 1. törvénye
Ehhez először tisztáznunk kell, mi az ellipszis: olyan pontok halmaza a síkban, melyek két adott ponttól (az \(F_1\) és \(F_2\) fókuszpontoktól, más néven gyújtópontoktól) azonos "távolságösszegre" vannak:
Ellipszis úgy hozható létre egy körből, hogy egyik irányban "egyenletesen összepréseljük" (lineáris transzformáció). A kör olyan speciális ellipszis, melynél a két fókuszpont egybeesik.
Kepler 1. törvénye: a bolygók ellipszispályán keringenek a Nap körül, és az ellipszis egyik fókuszpontjában található a Nap.
Az ellipszisnek két szimmetriategelye van, melyeknek az ellipszisen belüli szakaszát nagytengelynek illetve kistengelynek hívjuk (ami zavaros elnevezés, hiszen a tengelyek végtelen hosszú egyenesek szoktak lenni, míg ezek véges hosszú szakaszok):
Az égi mechanikában ezeknek a szakaszoknak a fele lesz fontos, amiket külön betűkkel is jelölük:
- a nagytengely fele az \(a\) jelű félnagytengely
- a kistengely fele a \(b\) jelű fél kistengely
Az $a$ félnagytangelyt szokás átlagos távolságnak is nevezni, mert az ellipszis összes (végtelen sok) pontját számításba véve, azok távolságainak átlagával azonos.
A Föld ellipszispályája majdnem kör, a Föld-pálya nagytengelye mindössze \(0,0014\%\)-kal nagyobb, mint a kistengelye. A Marsnál a nagytengely már \(0,44\%\)-kal nagyobb a kistengelynél, a Halley-üstökösnél pedig már 3,9-szeres a tengelyek aránya.
Az ellipszispályán keringő égitest fontos két állapota, amikor a legközelebb van a vonzócentrumához, illetve amikor a legtávolabb.van tőle. Nap körüli keringés esetén ezeket naptávolban és napközelben kifejezéssel illetjük, és a hozzájuk tartozó távolságokat aphéliumnak és perihéliumnak hívjuk (az aphélium kiejtése aphélium, nem pedig "afélium").
A Föld aphéliuma \(3,4\%\)-kal nagyobb, mint a perihéliuma, a Marsé már \(20\%\)-kal, a Halley-üstökös pedig a napközeli távolságánál majdnem 60-szor messzebbre is eltávolodik, mire visszakanyarodik a Nap felé. Föld körül keringő objektumok esetén a legnagyobb távolság neve apogeum, a legkisebbé perigeum.
Kepler 2. törvénye
Ehhez először be kell vezetnünk két fogalmat:
- vezérsugár: Napot és a bolygót összekötő szakasz
- területi sebesség: a vezérsugár által egységnyi idő (1 másodperc) alatt súrolt terület
A második törvény hátterében a bolygóra fennálló perdületmegmaradás húzódik meg. Ennek feltétele mindig az, hogy a testre ható erőknek vagy ne legyen forgatónyomatéka (vagy azok oltsák ki egymás forgató hatását). A bolygóra a Kepler-féle közelítésben csak a Nap által kifejtett gravitációs vonzóerő hat, aminek amiatt nincs forgatónyomatéka a Nap középpontjába vett forgáspontra nézve, mert a bolygóra ható gravitációs vonzerő hatásvonala mindig átmegy a forgásponton, ezért a Nap által kifejtett gravitációs erő erőkarja minden pillanatban nulla.
A második törvény szemléletesen azt jelenti, hogy a bolygó a Nap felé közeledve folyamatosan egyre nagyobb keringési sebességgel halad, és a napközeli pontban (perihélium) éri el a sebessége maximumát. Onnantól egyre lassulva távolodik a Naptól, és naptávolban (aphélium) halad a leglassabban.
A keringési sebesség ingadozása többféleképpen is értelmezhető (gimis szinten persze csak a tendenciák; a mennyiségi leíráshoz már egyetemi matek kell):
- a gravitációs erő komponensei segítségével
- a perdületmegmaradással
- a mechanikai energia megmaradásával
A gravitációs erő komponensei segítségével
A két szélső pontot (a napközelt és naptávolt) leszámítva a Nap gravitációs vonzerejének mindig van a bolygó \(v_{\mathrm{k}}\) kerületi sebességének irányába eső komponense. Ez a Naphoz közeledés során végig a sebességgel azonos irányába hat, ezért egyfolytában növeli a bolygó sebességét, míg a Naptól távolodás során folyamatosan a sebességgel ellentétes irányú, ezért szüntelenül csökkenti a keringési sebességet. Ezért a napközeltől a naptávolig (a Naptól távolodása során) a bolygó sebessége egyfolytában csökken, míg a keringés másik felében (a Naphoz közeledve) a sebesség szüntelenül növekszik.
A perdületmegmaradás segítségével
Pontszerű test (amilyen most a Nap körül keringő bolygó) perdülete (impulzusnyomatéka) a lendületének (impulzusának) és a lendület \(k\) karjának szorzata:
\[N=p\cdot k\]
\[N=mv\cdot k\]
ahol a \(k\) kar az impulzusvektor egyenesének távolsága a keringési centrumtól.
A Naphoz közeledve az impulzus \(k\) karja egyre csökken, így az impulzusmomentum megmaradásához az \(mv\) impulzusnak növekednie kell, de a bolygó \(m\) tömege a keringés hatására nem változik, így a bolygó \(v\) sebességének muszáj növekednie. Az impulzus karja a napközelben (perihélium) a legkisebb, és naptávolban (aphélium) a legnagyobb, ezért napközelben halad a leggyorsabban a bolygó, és naptávolban a leglassabban.
A mechanikai energia megmaradása segítségével
A keringés során a bolygó mechanikai energiája megmarad. Ennek feltétele ugyanis, hogy a testre csak konzervatív erők hassanak (disszipatív erők, mit a súrlódás, légellenállás ne), és ez itt teljesül, mert a világűr elég nagyfokú vákuumot jelent, a gravitációs erő pedig konzervatív. A bolygó mechanikai energiája a mozgási energia és a gravitációs potenciális energia összege:
\[E^{\mathrm{mech}}=E^{\mathrm{mozg}}+E^{\mathrm{gr.\ pot}}\]
Az energiafajtákat beírva:
\[E^{\mathrm{mech}}=\frac{1}{2}mv^2-f\frac{Mm}{r}\]
Ha a bolygó közeledik a Naphoz, akkor az \(r\) távolsága csökken, így a gravitációs potenciális energia törtje egyre nagyobb abszolút értékű lesz, de mivel az előjele (a vonzás miatt) negatív, így az egyre nagyobb negatív szám egyre kisebb értéket jelent, tehát csökkenést. A mechanikai energia úgy maradhat meg, ha a gravitációs potenciális energia csökkensét a mozgási energia növelése kompenzálja.
A mechanikai energiát nevezhetjük összenergiának is, ezzel a jelöléssel az energiaviszonyokat így szemléltethetjük a vonzócentrumtól mért \(r\) távolság függvényében:
Ha a bolygó távolodik a vonzócentrumtól, akkor a (negatív előjelű) gravitációs potenciális energiája növekszik, a mozgási energiája emiatt csökkenni kénytelen:
Vajon legfeljebb milyen messzire tud eltávolodni a vonzócentrumtól, illetve milyen közel tud hozzá jutni? Az energiamegmaradás alapján semmi akadálya nem lenne, hogy olyan messzire távolodjon el, ahol a sebessége már "elfogy".
Csakhogy ez nem lehetséges, mert ha a távolban megállna, akkor a perdülete (impulzusnyomatéka) nullává válna, márpedig arra érvényes a megmaradási tétel, az a kezdeti értéktől nem térhet el a keringés során. Ugyanezen okból nem lehetséges az sem, hogy akármilyen közel kerüljön a bolygó a vonzócentrumához. Ezért a kezdeti feltételek (a kezdeti távolság, a sebesség iránya, nagysága) megszabják, hogy mennyi lehet a minimális és maximális távolság a vonzócentrumtól.
Ha centrális gravitációs mezőben akkora sebességgel indítunk el tetszőleges irányban egy testet, hogy az ellipszispályára álljon, és a test \(m\) tömege elhanyagolható a vonzócentrum \(M\) tömegéhez képest, akkor a létrjövő ellipszispálya maximális távolságának képlete levezethető:
\[r_{\mathrm{max}}=\frac{1}{\left| E\right|}\left[fMm+\sqrt{{(fMm)}^2+\frac{2NE}{m}}\right]\]
Itt \(\left| E\right|\) az összenergia abszolút értéke:
\[E=\frac{1}{2}m{(v_r+v_{\varphi})}^2-\frac{Mm}{r}\]
ahol \(v_r\) a kezdeti sebesség radiális komponense (a vezérsugár irányába eső sebességösszetevő), \(v_{\varphi}\) pedig a kezdeti sebességnek a vezérsugárra merőleges irányú ún. azimutális komponense.
Az \(N\) pályaperdület pedig:
\[N=mv_{\varphi}r\]
A minimális távolság képlete csak az egyik tag előjelében tér el ettől:
\[r_{\mathrm{max}}=\frac{1}{\left| E\right|}\left[fMm+\sqrt{{(fMm)}^2-\frac{2NE}{m}}\right]\]
Kepler 3. törvénye
A 3. Kepler-törvény egy adott vonzócentrum körül különböző ellipszispályákon keringő objektumok átlagos keringési távolságai (az \(a\) félnagytengelyek) valamint a \(T\) keringési idők (periódusidők) között teremt kapcsolatot.
\[\frac{a^3}{T^2}=\mathrm{állandó}\]
Ez alapján ha egy bolygó 2-szer (illetve 3-szor) nagyobb félnagytengelyű pályán kering a Nap körül, mint a másik bolygó, akkor az ő periódusideje \(\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\approx 2,83\)-szor (illetve \(\sqrt{3^3}=\sqrt{27}\approx 5,2\)-szer) nagyobb lesz.
$$\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{T_2^2}$$
$$\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{(2a_1)^3}{T_2^2}$$
$$\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{2^3\cdot a_1^3}{T_2^2}$$
$$\frac{1}{T_1^2}=\frac{2^3}{T_2^2}$$
$$T_2^2=2^3\cdot T_1^2$$
$$T_2=2^{\frac{3}{2}} \cdot T_1$$
$$T_2=\sqrt{8}\ T_1$$
A Kepler 3. törvényben szereplő állandó értéke a vonzócentrum $M$ tömegével egyenesen arányos:
\[\frac{a^3}{T^2}=\frac{fM}{4\pi^2}\]
A Naprendszer bolygóinál, a keringési időket földi év egységben szokás megadni, a félnagytengelyeket pedig a Föld-pálya félnagytengelye egységben (ún. Csillagszati Egység, Asronomical Unit, A.U.):
| bolygó | \(a\) \((\mathrm{Cs. E.})\) | \(a^3\) | \(T\) \((\mathrm{év})\) | \(T^2\) | \(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}\) |
| Föld | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Mars | 1,523 | 3,54 | 1,88 | 3,53 | 1 |
| Jupiter | 5,2 | 140,6 | 11,86 | 140,7 | 1 |
| Plútó | 39,48 | 61 536 | 247,9 | 61 474 | 1 |
Csillagászattörténeti adalékok
A csillagászatban először Galilei használt távcsövet 1609-ben, előtte csak szabad szemes megfigyelések voltak, de a csillagok pozícióját hatalmas mechanikus szerkezetek segítségével már igen pontosan mérték. Ezen időszak utolsó, sasszemű titánja volt Tycho de Brache. 1601-es halála előtt pár hónappal csatlakozott hozzá tanítványként, asszisztensként Kepler, aki Brache halála után megszereznie az örökösöktől Brache több évtizednyi precíz megfigyelési adatait, ami aranybánya volt számára. Kepler célja az volt, hogy értelmezze a bolygók látszólagos mozgását az állócsillagokhoz képest az új, heliocentrikus világkép alapján, különösen a Mars-hurok jelenségét. A helyzetet az új rendszerben igencsak megbonyolította, hogy ha a Föld is kering a Nap körül, meg a megfigyelt bolygó is (pl. Mars), akkor annak Földről észlelt látszólagos mozgása a két keringő mozgás "egymásra rakódásából" áll össze. Kepler részéről komoly szellemi teljesítmény volt, hogy a Mars (Földről látható látszólagos) mozgásából "visszafejtette", hogy "távolról nézve" (inerciarendszerből) milyen alakú a pályája. Ehhez a bravúros transzformációhoz Keplert három szerencsés körülmény segítette:
- a Föld keringési pályája olyan ellipszis, mely alig tér el a körtől (márpedig ez, hogy a Földön lévő megfigyelő Nap körüli mozgása egyszerűbb, ez könnyebbé teszi a helyzetet)
- a Mars jól megfigyelhető a Földről (míg pl. a Merkúr vagy a Vénusz csak korlátozottan, naponta csak egy rövid ideig, napkelte előtt vagy napnyugta után láthatók)
- a Mars Nap körüli pályája "ténylegesen" ellipszis, tehát érdemben eltért a körtől (naptávolban 20%-kal messzebb van, mint napközelben), így az "elliptikusság" jól megfigyelhető a mozgásán
Kepler 1609-ben adta közre bolygómozgással kapcsolatos első és második törvényét, melyet 10 évvel később követett a harmadik.
Kepler próbálta megérteni azt is, hogy miért, hogyan alakulnak ki a bolygók ellipszispályái, de erre esélye sem volt, mivel a felelőst, a gravitációt, Newton csak Kepler 1630-as halála után 56 évvel fedezte fel.
A Kepler-törvények nem egzakt természettörvények, hanem közelítő jellegűek, ugyanis tökéletes ellipszispálya csak jön létre, ha
- a vonzócentrumon kívül semmi más nem fejt ki erőt a bolygóra
- a bolygó tömege elhanyagolhatóan kicsi a vonzócentrumhoz képest (vagyis az ő grarviációs vonzása "nem rángatja" a vonzócentrumot)
A bolygómozgás nagyon pontos leírása azonban még a Newton-féle gravitációs törvény segítségével sem sikerült, azt az Einstein-féle általános relativitáselmélet adja meg.