Az $\mathrm{A}$ pontból a referenciapontba elmozdulás során értelmeztük az elektroszatikus mező munkavégzését (egységnyi próbatöltés esetén ebből lett a potenciál fogalma). Munkavégzést értelmezhetünk az $\mathrm{A}$ pontból $\mathrm{B}$ pontba elmozdulás során is, ennek legyen $W_{\mathrm{AB}}$ a jele! Ez a munka (az előbb tárgyalt $W_{\mathrm{A\to R}}$ munkához hasonlóan) egyenes arányos a $q$ próbatöltéssel, így a végzett munka és a próbatöltés hányadosa itt is állandó, függetlenül a próbatöltéstől:
$$\frac{W_{\mathrm{AB}}}{q}=\mathrm{konst}$$
Ezt az előbbiekhez hasonlóan $U$ betűvel fogjuk jelölni, és " AB feszültség"-nek nevezzük el:
$$U_{\mathrm{AB}}=\frac{W_{\mathrm{AB}}}{q}$$
Tehát a feszültség az egységnyi töltésre jutó munkavégzás, miközben az az $\mathrm{A}$ pontból a $\mathrm{B}$ pontba mozdul el. Mértékegysége a potenciálhoz hasonlóan $\mathrm{V\ (volt)}$.
Egyértelmű, hogy a potenciál és a feszültség rokon fogalmak. A kapcsolat az egyik irányban könnyen megragadható: a potenciál egy olyan speciális feszültség, amikor az elmozdulás végpontja az $\mathrm{R}$ referenciapont. A másik irány már nehezebb, úgyhogy vezessük vissza az $U_{\mathrm{AB}}$ feszültség fogalmát az $U_{\mathrm{A}}$ és $U_{\mathrm{B}}$ potenciálokra!
Használjuk ki, hogy az elektrosztatikus mező konzervatív, azaz a munkavégzés útfüggetlen (adott próbatöltés esetén csak a kezdő- és végponttól függ), vagyis a kezdőpontból tetszőleges úton eljutva a végpontba, mindig ugyanannyi a munka. Ezért a $W_{\mathrm{A \to B}}$ levezetéséhez tegyünk egy jókora kitérőt, és az $\mathrm{A}$ kezdőpontból először menjünk el az $\mathrm{R}$ referenciapontba, és onnan menjünk a $\mathrm{B}$ végpontba. A munkákra fennáll:
$$W_{\mathrm{A \to B}}=W_{\mathrm{A \to R}}+W_{\mathrm{R \to B}}$$
Az egyenletet elosztva a próbatöltéssel, megkapjuk, hogy az egységtöltésre jutó munkák összefüggését:
$$\frac{W_{\mathrm{A \to B}}}{q}=\frac{W_{\mathrm{A \to R}}}{q}+\frac{W_{\mathrm{R \to B}}}{q}$$
Az első szakaszon az egységnyi töltésen végzett munka (definíció szerint) az $\mathrm{A}$ pont potenciálja:
$$\frac{W_{\mathrm{A \to R}}}{q}=U_{\mathrm{A}}$$
A második szakasz megértéséhez gondoljunk a konzervatív mező másik tulajdonságára, nevezetesen hogy ha az elmotdulás végére visszaérünk a kezdőpontba (azaz zárt görbe mentén történik az elmozdulás),akkor az egész munkavégzés mindig nulla.
Ebből ugyanis az következik, hogy az "odaúton" és a "visszaúton" a munkák mindig egymás $(-1)$-szeresei. Ezt felhasználva a $W_{\mathrm{R \to B}}$ munka így írható át:
$$W_{\mathrm{R \to B}}=-W_{\mathrm{B \to R}}$$
A jobb oldalon pedig az $U_{\mathrm{B}}$ potenciál $(-1)$-szerese szerepel, vagyis:
$$W_{\mathrm{R \to B}}=-U_{\mathrm{B}}$$
A kapott eredményeket (potenciálokat) beírva:
$$\frac{W_{\mathrm{A \to B}}}{q}=\frac{W_{\mathrm{A \to R}}}{q}+\frac{W_{\mathrm{R \to B}}}{q}$$
$$\boxed{U_{\mathrm{AB}}=U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}}}$$
Tehát az $U_{\mathrm{AB}}$ feszültség az $U_{\mathrm{A}}$ és az $U_{\mathrm{B}}$ potenciálok különbsége. Ez alapján:
- ha a feszültség pozitív, akkor a kezdőpont nagyobb ("magasabb") potenciálon van
- ha a feszültség negatív, akkor a kezdőpont kisebb ("alacsonyabb") potenciálon van
Természetesen itt a "magasabb" ls "alacsonyabb" szavakat nem "függőleges pozíció" értelemben használjuk. Ez a kifejezés csak a helyzeti energiával való analógia miatt honosodott meg a nyelvben, mert ott a magasabb helyhez tartozik a nagyobb potenciális energia.
Vegyük észre, hogy míg az elektromos mező egy pontjának potenciálját nem lehet objektíven megadni (hiszen attól is függ, hogy hová választjuk a potenciális energia nullszintjét), addig két adott pont (A és B) közötti feszültség már egyértelműen megadható (a nullszint választásától függetlenül).
A potenciál és feszültség fogalmakat itt olyan sorrendben vezettük be, hogy először definiáltuk a potenciált, majd potenciálkülönbségként a feszültséget. De fordított sorrendben is bevezethetők: először definiáljuk az $U_{\mathrm{AB}}$ feszültséget, majd egy olyan speciális feszültségként az $U_{\mathrm{A}}$ potenciált, amikor az AB elmozdulás $\mathrm{B}$ végpontja az $\mathrm{R}$ referenciapont.
Éles szeműeknek feltűnhet, hogy a feszültség potenciálkülönbség, de nem a szokásos módon számoljuk, azaz nem a végső potenciálértékből vonjuk ki a kezdeti potenciálértéket, hanem fordítva:
$$U_{\mathrm{AB}}=U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}}$$
Ennek hátterében egy előjelkonvenció áll. A fizikában sok folyamatot valamilyen skaláris mennyiség térbeli (a helykoordináta szerinti) különböző értékei (inhomogenitása) "hajt", néhány példa:
- a nehézségi erőtérben a gravitációs potenciál függőleges irányú eltérései miatt indul el függőlegesen lefelé egy elejtett test
- a nyomáskülönbség hatására jönnek mozgásba, áramlásba a folyadékok, gázok
- a hőmérséklet-különbség hajtja a hőáramot (viszi télen a fűtött lakásból kifelé a hőt)
- a koncentrációkülönbség hajtja a diffúziót
- az elektromos potenciálkülönbség hajtja az elektromos töltéseket, létrehozva ezzel az áramot
Egy skaláris mennyiségnek (így az $U$ potenciálnak) térbeli, helykoordináta szerinti inhomogenitásának mértékét a gradiensvektor adja meg:
$$\mathrm{grad}\ U=\nabla U=\left(\frac{\partial U}{\partial x};\ \frac{\partial U}{\partial y};\ \frac{\partial U}{\partial z}\right)$$
mely gradiensvektor jellemzői:
- az iránya minden pontban abba az irányba mutat amelyik irányba a legnagyobb mértékben növekszik a skaláris mennyiség (potenciál)
- nagysága az egységnyi elmozdulásra eső potenciálnövekedés
Potenciál( azaz olyan skaláris mennyiség, aminek gradienseként valami "hajtóerő" előáll) csak konzervatív erőkhöz rendelhető. Tehát a nehézségi erőhöz rendelhető potenciális energia és potenciál, de a súrlódási erőhöz nem.
Azonban van itt egy ellentmondás: a fenti esetekben az inhomogenitástól hajtott folyamatban a mozgás sosem a skaláris mennyiség (potenciál) növekedése irányába indul meg, hanem a potenciál csökkenése irányába. Vagyis nem a potenciál gradiensvektora irányába, hanem annak $(-1)$-szeresének, ellentettjének irányába. Ennek feloldásaként a fizikában a konzervatív erőket nem egyszerűen a potenciál gradiensvektoraként értelmes definiálnunk, hanem "negatív gradiens"-ként:
$$\vec{F}_{\mathrm{konz}}=-\mathrm{grad}\ U$$
Ez az elektromos mezőben is így van: a potenciálcsökkenés irányába hat az erő a pozitív töltésre (megállapodás szerint ahol van valamiből pozitív és negatív, ott a definíciókban mindig a pozitív kell szerepeljen).
Azonban olyan helyeken, ahol egy potenciál gradiense nem valamiféle "hajtóerő" jelentésű vektor (amilyen a fenti példákban volt), olyan esetekben a gradienst használják, nem pedig a negatív gradienst (a gradiens ellentettjét). Ilyen például a hidrodinamikában örvénymentes áramlásoknál a sebességpotenciál, mely egy olyan skaláris mennyiség, aminek gradienseként előáll az áramlási tér minden pontjában az ottani sebességvektor.