Hipparkhosz az. i.e. 2. században készítette el a saját csillagkatalógusát, melyben 850 csillag égbolton elfoglalt helyét írta le, és feltehetően ő találta ki, hogy a csillagokat fényességük alapján besorolja 6 fényességi kategóriába (osztályba, fényrendbe). A fényességi osztályoknak nála valószínűleg még csak nevei voltak, mint például "ragyogó" illetve "halovány". Később Manilius már 1‑től 6‑ig terjedő számokkal illette a 6 fényességi osztályt. Még később Ptolemaiosz (1022 objektumos) csillagkatalógusában is 6 fényrend szerepel, méghozzá úgy, hogy a legfényesebb csillagok lettek az I. fényrendűek, és a leghalványabbak kerültek a VI. fényrendbe. Ez nem szerencsés számozás, hiszen a nagyobb fényességű csillagokból több fény jut a szemünkbe, így a fényüket bárhogyan is megmérve biztosan nagyobb számot kapunk, mégis hozzájuk tartozik a kisebb szám, vagyis a fényességi rendszer számozása "fordított logikájú". Az emberek azonban gyakran ragaszkodnak az ésszerűtlen szokásaikhoz, hagyományaikhoz is, ezért ez az "inverz besorolás" máig fennmaradt, ugyanis ebből az ókori, 6 fényességi osztályt használó rendszerből fejlődött ki az égitestek fényességét jellemző mai magnitúdóskála. Ha egy objektum ún. látszó fényessége a magnitúdóskálán 6 (azaz $m=6$), azt úgy is szokás jelölni, hogy az objektum $6^m$ fényességű.
A magnitúdó görög-latin eredetű szó, jelentése nagyság (a szótöve a "magnus" latinul azt jelenti: nagy; görögül a μέγεθος szintén).
A természettudományokban nem elég azt mondani, hogy az egyik objektum nagyobb (fényességű), mint a másik, hanem meg kell tudni számszerűen is mondani, hogy mennyivel vagy hányszor. Az efféle mennyiségi (kvantitatív) leíráshoz kell egy mérési eljárás. Az ezüstpénzek súlyát már az ókorban is nagy pontossággal tudták mérni érzékeny mérlegeken, viszont a csillagok fényességét egészen a 19. század közepéig nem sikerült. A szubjektív emberes érzékelést leváltó objektív, műszeres mérés eleinte még csak annyit tudott megállapítani, hogy az egyik csillagból hányszor több energia jut másodpercenként a távcsőbe, mint a másik csillagból. Tehát a távcsőbe érkező fénysugárzások teljesítményeinek arányát. Mivel a műszerbe beérkező fényteljesítmények nemcsak a fényforrás csillagtól függenek, hanem a távcső fénygyűjtő képességétől is, hiszen a nagyobb átmérőjű távcsőbe a csillag minden irányba szétterjedő sugárzásából több jut be. Ezért a csillag látszó fényességét jobban jellemzi a távcsőtől függetlenített azon adat, hogy mennyi a műszer egységnyi felületére ($1\ \mathrm{m^2}$-ére) beérkező sugárzás teljesítménye, amit $I$ intenzitásnak (felületi teljesítménysűrűségnek) nevezünk:
$$I=\frac{\Delta E}{\Delta t \cdot A}=\frac{P}{A}$$
Mértékegysége:
$$[I]=\mathrm{\frac{W}{m^2}}$$
A relatív fényesség két égitest intenzitásainak aránya:
$$\frac{I_1}{I_2}$$
ami tehát egy arányszám, viszonyszám, így mértékegység nélküli.
Az első relatív fényesség mérésekből az adódott, hogy az I. fényrendű csillagok átlagos fényessége kb. 100‑szor nagyobb, mint a VI. fényrendűeké. 1856‑ban a brit Pogson azt javasolta, hogy az új, immár méréseken alapuló "magnitúdós" fényességi skála olyan legyen, hogy
- amennyire lehet, őrizze meg az addigi fényrend számértékeket, azaz az I., II., ... VI. fényrendű csillagok a magnitúdóskálán $1^{m}$, $2^m$, ...$6^m$ körüliek legyenek
- minden fényességi osztály között ugyanannyiszoros ugrás legyen a mérhető fényességben, vagyis ugyanannyiszoros inger ugrás mindig ugyanakkora eltérést, különbséget jelentsen a magnitúdóskálán, ami arra hivatott, hogy számszerűsítse az "érzetet", hogy mennyire fényesnek látjuk az adott csillagot (ennek az inger-érzet viszonynak pszichofizikai megfontolások jelentették az alapját)
Ezek alapján:
Ebből már következik, hogy ha nemcsak egyet lépünk a fényességi osztályok között, hanem 2‑t vagy 3‑at, akkor 2‑szer illetve 3‑szor fog megtörténni, hogy a fényesség "$k$-szorosára növekszik", ezért a fényességek aránya $k\cdot k=k^2$ illetve $k\cdot k\cdot k=k^3$ szoros lesz:
Mivel az I. és a VI. fényességi osztály között összesen 5 lépés(köz) van, így ha két szomszédos osztály fényessége mindig $k$-szorosan különbözik, akkor a "k-szorosa" műveletet 5‑ször kell elvégezni, így $k^5$‑szeres a mérhető fényességek aránya:
Ez a $k^5$‑szeres arány kell, hogy kiadja a mérésekben tapasztalt kb. 100‑szoros fényerősség arányt:
$$k^5=100$$
amiből "ötödik gyököt vonva", más szóval mindkét oldalt $\displaystyle \frac{1}{5}$ kitevőre emelve:
$$k=\sqrt[5]{100}=100^{\frac{1}{5}}= 2,512\approx 2,5$$
Tehát egy csillag fényessége akkor "1‑gyel kisebb magnitúdójú" a másik csillagnál, ha kb. 2,5‑ször nagyobb a mérhető fényessége. Ha az egyik csillag $2,5^2\approx 6,3$‑szor nagyobb fényességű, mint a másik, akkor 2‑vel kisebb a fényessége (magnitúdóban), ha pedig $2,5^3\approx 15,85$‑szor nagyobb fényességű, mint a másik, akkor 3‑mal kisebb magnitúdójú a fényessége:
| a mért fényességek aránya | a fényességek különbsége magnitúdóban (magnitúdóskálán) |
| $\sqrt[5]{100}\approx 2,512$ | 1 |
| $\left(\sqrt[5]{100}\right)^2\approx 2,512^2\approx 6,3$ | 2 |
| $\left(\sqrt[5]{100}\right)^3\approx 2,512^3\approx 15,85$ | 3 |
Kell egy fix pont
Ezen a ponton felmerül az igény, hogy kellene egy referenciacsillag, amihez viszonyítjuk a többi csillag (relatíve megkimért) fényességét. Erre először a Sarkcsillagot nézték ki (mivel az északi félgömbön látszólag "körülötte forog" minden más csillag), de ez nem bizonyult szerencsés döntésnek, mert róla hamarosan kierült, hogy ún. változócsillag, konkrétan négynapos periódusidővel kissé ingadozik a fényereje (szabad szemmel nem észlelhető, kis mértékben, úgy 0,2 magnitúdónyit). Úgyhogy később áttértek az ötödik legfényesebb csillagra, a Vegára.
Így már lehet konkrét számot rendelni egy csillag fényességéhez, ez a relatív fényesség, mely egy olyan szám, melyet abból képezünk, hogy hányszoros az adott csillag fényerőssége a Vegához képest. És közben igazodunk az ókori eredetű "fényrend" hagyományhoz, azaz hogy kb. 2,5‑szörös fényességarány esetén legyen 1 (egységnyi) az eltérés a magnitúdóban megadott fényességek között. Mivel a magnitúdóskála "fordított logikájú", vagyis a nagyobb fényességhez kisebb magnitúdó érték tartozik, így a Vegánál fényesebb objektumok magnitúdója mindig negatív. A nagyon halvány (csak erős távcsővel látható) objektumok pedig már jócskán túl vannak a szabad szemmel látható $1\dots 6$ tartományon, ennél nagyobb magnitúdósak (20‑30). Amikor Galilei 1609-ben elsőként fordított távcsövet az éjszakai égbolt felé, egyből rengeteg olyan objektumot is látott, amiket szabad szemmel addig senki, ezért a ptolemaioszi fényrendeket kiterjesztve bevezetett VII-es, VIII-as fényrendeket a leghalványabb égitestekre.
| égitest | relatív fényesség magnitúdóban $m$ |
| Vega | $0$ |
| Nap | $-26,8$ |
| Telihold | $-12,6$ |
| Vénusz | $-4,9 \ldots -3,8$ |
| Mars | $-2,9 \ldots +1,8$ |
| Szíriusz (a legfényesebb csillag) | $-1,44$ |
| Északi Sarkcsillag | $2$ |
| szabad szemmel látható leghalványabb csillagok | $6$ |
| legnagyobb földi távcsövek észlelési határa (Keck) | $30$ |
Miért bonyolítjuk ennyire, miért nem egyszerűen a relatív fényességet jelenti a magnitúdó, azaz hogy "az adott csillagból hányszor nagyobb teljesítményű sugárzás érkezik a távcsőbe, mint a Vegából"? Mert az égi objektumok mérhető fényessége óriási mértékben, sok-sok nagyságrendben különbözik egymástól. Mivel 1 magnitúdó eltérés kb. 2,5‑szörös fényességarányt jelent, ezért a legjobb távcsövek, amik észlelési határa már 30 magnitúdó, a Vegánál $2,5^{30}=10^{12}$ vagyis ezermilliárdszor kisebb fényességű objektumokat is látnak. A Naphoz viszonyítva a legjobb távcsövekben látható halvány objektumokat pedig az arány már $2,5^{30+26,8}=2,5^{56,8}\approx 5\cdot 10^{22}$‑szeres, amit szavakkal már nem is érdemes megpróbálni kimondani. A magnitúdóskála valójában "logaritmikus", hogy a hatalmas nagyságrendi eltéréseket "megszelidítse", azaz kis ($-26,8$ és $30$ közötti) számokkal kezelje le a közel 23 nagyságrendnyi eltéréseket az intenzitásokban.
Hányszor fényesebb a telihold a szabad szemmel még látható leghalványabb csillagoknál? A Hold látszó fényessége $-12,6^m$, a szabad szemmel látható leghalványabb csillagoké $6^m$, vagyis a különbség
$$6^m-(-12,6^m)=18,6^m$$
vagyis 18,6 magnitúdó. Mivel minden egyes magnitúdókülönbség 2,512-szörös intenzitásarányt jelent, ezért a telihold $2,512^{18,6}=27\ 565\ 458$-szor, azaz közel 28 milliószor nagyobb intenzitással világítja be éjszaka a tárgyakat a Földön, mint egy halvány csillag.
Egy égitest magnitúdóban mért látszó fényessége a Vega csillaghoz képesti relatív fényességének 10-es alapú logaritmusa, szorozva $-2,5$-tel:
$$m_1=-2,5\cdot \lg \frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{Vega}}}$$
De ez most honnan pottyant ide? Levezetjük!
Levezetés
Vegyünk képzeletben 6 csillagot, méghozzá a ptolemaioszi fényességi kategóriák alapján az I‑es osztálytól (ragyogó, nagyon fényes) elindulva a VI‑os osztályú halványakig, minden osztályból egy átlagos csillagot! Ekkor magnitúdóban megadott fényességeik $1; 2; 3; 4; 5; 6$. Azt szeretnénk, hogy a szomszédos csillagok mért fényessége mindig ugyanannyiszorosa (mondjuk $k$-szorosa) legyen az előzőnek:
$$\frac{I_{\mathrm{I}}}{I_{\mathrm{II}}}=\frac{I_{\mathrm{II}}}{I_{\mathrm{III}}}=\frac{I_{\mathrm{III}}}{I_{\mathrm{IV}}}=\frac{I_{\mathrm{IV}}}{I_{\mathrm{V}}}=\frac{I_{\mathrm{V}}}{I_{\mathrm{VI}}}=k$$
A római sorszámokról térjünk át arabra:
$$\frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{2}}}=\frac{I_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{3}}}=\frac{I_{\mathrm{3}}}{I_{\mathrm{4}}}=\frac{I_{\mathrm{4}}}{I_{\mathrm{5}}}=\frac{I_{\mathrm{5}}}{I_{\mathrm{6}}}=k$$
Ha ezen 6 csillagból nem két szomszédos csillagot nézünk, hanem két teszőlegest ($\mathrm{a}$ és $\mathrm{b}$), akkor a mért intenzitásaik aránya úgy kapható meg, hogy a $k$ szorzótényezőt annyiszor szorozzok össze önmagával (annyiadik hatványkitevőre emeljük), ahány a magnitúdóban megadott fényességértékek különbsége:
$$\frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}=k^{m_{\mathrm{b}}-m_{\mathrm{a}}}$$
Az alsó indexek azért így vannak, mert ha az $\mathrm{a}$ objektum nagyobb mérhető fényességű, akkor ő (a fordítot logikájú rendszer miatt) kisebb magnitúdójú, tehát $m_{\mathrm{a}}<m_{\mathrm{b}}$. A nagyobb mérhető fényességet elosztva a kisebbel 1‑nél nagyobbat kapunk, emiatt az egyenlet bal oldala is 1‑nél nagyobb kell legyen. Egy 1-nél nagyobb alapú hatvány (és itt ilyen van, hiszen $k=2,512$) pedig akkor lesz 1‑nél nagyobb, ha a kitevője pozitív, vagyis az egyenlet jobb oldalán a nagyobb magnitúdót kell kivonni a kisebb magnitúdóból.
Vegyük mindkét oldal 10‑es alapú logaritmusát:
$$\lg \frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}=\lg k^{m_{\mathrm{b}}-m_{\mathrm{a}}}$$
Alkalmazva a $\lg x^n=n\cdot \lg x$ logaritmus azonosságot:
$$\lg \frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}=(m_{\mathrm{b}}-m_{\mathrm{a}})\cdot \lg k$$
Legyenek speciálisan az égitestek a régi terminológiával I. és VI. fényességi osztályúak, azaz $m_{\mathrm{a}}=1$ és $m_{\mathrm{b}}=6$ magnitúdójúak! Ekkor a mérhető fényességeik aránya 100-szoros:
$$\frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}=100$$
Írjuk ezeket be az egyenletbe:
$$\lg 100=(6-1)\cdot \lg k$$
$$\lg 10^2=5\cdot \lg k$$
$$2=5\cdot \lg k$$
$$\lg k=0,4$$
Ezt visszaírva:
$$\lg \frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}=(m_{\mathrm{b}}-m_{\mathrm{a}})\cdot 0,4$$
És megfordítva a magnitúdók sorrendjét:
$$\lg \frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}=-0,4\cdot (m_{\mathrm{a}}-m_{\mathrm{b}})$$
Illetve ezt a magnitúdók különbségére kirendezve:
$$m_{\mathrm{a}}-m_{\mathrm{b}}=\frac{-1}{0,4}\cdot \lg \frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}$$
$$m_{\mathrm{a}}-m_{\mathrm{a}}=-2,5\cdot \lg \frac{I_{\mathrm{a}}}{I_{\mathrm{b}}}$$
És ha a $\mathrm{b}$ alsó indexű, a nevezőben szereplő referenciaobjektumot (Vega) nulla manitúdósnak választjuk, és a vizsgált objektumot 1-es alsó indexszel látjuk el, akkor:
$$m_1=-2,5\cdot \lg \frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{Vega}}}$$
A látszó fényességet magnitúdóban adjuk meg, de a magnitúdó nem mértékegység, hiszen a látszó fényesség "a referenciaobjektumhoz képesti relatív intenzitás 10-es alapú logaritmusának $-2,5$-szöröse". A benne szereplő logaritmus művelet miatt nem olyan egyszerűen jelent valamiféle arányszámot. Egy csillag mértékegységgel megadható egyik paramétere a luminozitás, mely az égitest által időegység (egy másodperc) alatt kisugárzott összes elektromágneses teljesítményt jelenti, mértékegysége $\mathrm{W}$. Másik az intenzitás, mely az égitesttől valamilyen távolságban lévő megfigyelő távcső egységnyi felületére ($1\ \mathrm{m^2}$) időegység alatt jutó energiát, azaz a sugárzási teljesítmény felületi sűrűségét jelenti, mértékegysége $\displaystyle \mathrm{\frac{W}{m^2}}$.
A magnitúdóban szereplő logaritmusnak nincsen materiális háttere, hanem az csak az emberi fényérzékelés pszichofizikája miatt van így (vagyis hogy 2-szer, 3-szor nagyobb inger nem 2-szer, 3-szor nagyobb érzetet vált ki).
Később a Vega is változócsillagnak bizonyult, így a mai "nulla magnitúdós referencia" definíciója alapján a Vega már $m_{\mathrm{Vega}}=0,03$ látszó fényességű.
Egy konkrét esetként nézzük a Nagy Göncöl csillagainak magnitúdóértékeit:
Az alábbi táblázat azt mutatja, hány csillag van, ami fényesebb adott magnitúdóértékeknél:
Az abszolút fényesség
Ehhez először tisztáznunk kell a luminozitás fogalmát: egy égitest által másodpercenként minden irányba elektromágneses formában kisugárzott, leadott energia, tehát teljesítmény.
Ha egy égi objektumot (innen a Földről) nagyon fényesnek látunk (azaz kicsi a magnitúdóban megadott látszó fényessége), az lehetséges, hogy amiatt van, mert ő egy nagyon erősen (sokat) sugárzó objektum, tehát nagy a luminozitása, de az is lehet, hogy csak átlagos vagy annál is kisebb a luminozitása, de nagyon közel van hozzánk. Ezért a látszó fényességben egyszerre van benne az objektum luminozitása, és a tőlünk vett távolsága. Emiatt ha meg szeretnénk tudni, hogy az egyik objektumnak több-e a kisugárzása, mint a másiknak, akkor a "látszó fényességben benne lévő" távolságot ki kell iktatnunk, méghozzá úgy, hogy kiszámítjuk, mennyi lenne az égitest látszó fényessége, ha egy egységesen rögzített távolságban lenne tőlünk.
Egy objektum abszolút fényességét úgy kapjuk meg, hogy képzeletben elmozdítjuk 10 parsec (azaz 32,4 fényév) távolságra, és kiszámítjuk, hogy így mennyi lenne a látszó fényessége.
Furcsa mód az égitestek abszolút fényessége is egy relatív érték, hiszen csak azt tudjuk meg belőle, hogy egy másik égitesttel összehasonlítva annál hányszor többet vagy kevesebbet sugároz. Végső soron itt is nagyjából a Vegához hasonlítunk, ami tőlünk 7,76 parsec távolságra van, így képzeletben 10 parsec‑re "elmozdítva" kissé halványabb lesz, ezért a megfigyelhető $0,03^m$ látszó fényessége $0,58^M$ abszolút fényességre "növekszik". Ha tehát egy égitest abszolút fényessége $0,58^M$, akkor ő annyit sugároz, mint a Vega. Ha mondjuk $1,58^M$, akkor 1‑gyel nagyobb, tehát 2,512‑ször kevesebbet sugároz a Vegánál.
A Nap látszó fényessége $-26,8^m$, de az abszolút fényessége $+4,8^M$, vagyis a Vega $0,58^M$ értékétől 4,22 magnitúdóban tér el, tehát a Nap $2,512^{4,22}=48,8$‑szor kevesebbet sugároz, mint a Vega. A legnagyobb luminozitású csillag $-12,41^M$ abszolút magnitúdójú, vagyis a Napnál $4,8-(-12,41)=17,21$ magnitúdóval különbözik, tehát a luminozitása $2,512^{17,21}\approx 7\ 662\ 000$-szer nagyobb a Napnál.
Az abszolút fényesség definíciójából következik, hogy
- a tőlünk éppen 10 parsec távolságra lévő csillagoknak a látszó fényessége megegyezik az abszolút fényességükkel
- a 10 parsec-nél közelebbi csillagok abszolút fényessége mindig nagyobb szám a látszó fényességüknél
- a 10 parsec-nél nagyobb távolságban lévő csillagok esetén az abszolút fényesség mindig kisebb szám, mint a látszó fényesség
Az abszolút fényesség a látszó fényességből csak akkor számítható ki, ha ismerjük az objektum tőlünk mért távolságát (valamilyen független módszerrel, például a parallaxisából), hiszen csak ekkor tudjuk számításba venni, hogy mit okozna a 10 parsec távolságba történő képzeletbeli elmozdítás. A szituáció fordítottja, hogy vannak olyan speciális csillagok, melyek összes kisugárzását (luminozitáát) a távolságuk ismerete nélkül is ismerjük (ezek a "standard gyertyák"), ilyenkor a megfigyelt látszó fényességből és a luminozitásból adódó abszolút fényességből kiszámíthatjuk a csillag távolságát.
Mind a látszó fényesség, mind az abszolút fényesség tovább bonyolítható, hogy milyen frekvencia- (hullámhossz) tartományt vizsgálunk, például
- az egész elektromágneses spektrumot (bolometrikus fényesség)
- az elektromágneses tartománynak csak egy kisebb részét, például a látható (fény) tartományt
- egy egységnyi frekvencia- (hullámhossz) tartományt (például az $600\ \mathrm{nm}$ hullámhossz körüli $1\ \mathrm{nm}$ széles tartományt, precízen az $599,5\ \mathrm{nm}$ és az $600.5\ \mathrm{nm}$ hullámhossz közötti sugárzásokat