EFMA

Az egyetemi fizika matematikai alapjai

A számfogalom fejlődése

A számfogalom bővításekor mindig nyerünk is valamit (pl. megoldhatóvá válnak további egyenletek), de fizetünk is árat (elveszítünk valamilyen addig fennálló tulajdonságot). 

Természetes számok $\mathbb{N}$

$$\mathbb{N}=0, 1, 2, 3, ...$$

Ezzel megszámlálhatók a darabszámok, és megoldhatók bizonyos egyeletek, mint például az $x+2=5$, de mondjuk az $x+5=2$ már nem. Ehhez bővíteni kell a számfogalmat a negatív egész számokkal, így kapjuk az egész számokat:

$$\mathbb{Z}=..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$$

A $\mathbb{Q}$ racionális számok olyanok, melyek előállííthatók két (pozitív vagy negatív) egész szám hányadosaként:

$$Q_1=\frac{Z_1}{Z_2}$$

A racionális számok neve a ratio (=arány) latin szóból ered, mivel az osztás eredményeként két egész szám arányáról van szó. A racionális számok tizedestört alakja vagy véges számjegyből áll, vagy ha végtelen hosszú, akkor egy adott indextől kezdve már periodikus (ismétlődő). 

Az irracionális számok $\mathbb{I}$ halmazába olyan számok tartoznak, melyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Ezeknek a tizedestört alakja mindig végtelen hosszú, és a számjegyeikben nincs ismétlődés. Irracionális számok például a $\sqrt{2}$, a $\pi$ vagy az Euler-féle $e$ szám. A racionális számok és az irracionális számok halmaza diszjunkt (nincs közös elemük). 

Egy másik szempont a számok csoportosítására, hogy létezik-e olyan, racionális együtthatójú polinomegyenlet

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0=0$$

melynek az adott szám megoldása. Amikre igen, azok az algebrai számok, amikre nem, azok a transzcendensek. Az algebrai és a transzcendens számok is diszjunkt halmazok. Táblázatba foglalva:

A racionális és irracionális számok halmazainak uniója adja az $\mathbb{R}$ valós számok halmazát:

$$\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}=\mathbb{R}$$

Az algebrai és transzcendens számhalmazok uniója pedig a komplex számokat adja ki.

A komplex számokra algebrai szempontból azért van szükség, hogy megoldhassunk minden racionális együtthatós polinomegyenletet, például a

$$x^2+1=0$$

vagyis az

$$x^2=-1$$

egyenletet is. Ha bevezetjük az

$$i=\sqrt{-1}$$

ún. képzetes (imaginárius) egységet, akkor $a; b$ tetszőleges valós számok esertén a

$$z=a+bi$$

alakú kifejezés egy komplex szám, melyben $a$ és $b$ valós számok, az $a$ egyúttal a komplex szám valós része, a $bi$ pedig a képzetes része. Komplex számokkal minden valós (sőt minden komplex) együtthatós polinomegyenlet megoldható. 

A fizika szempontjából a komplex számok bevezetése más miatt jelent előrelépést: ezzel lehetővé válik a 2D-s (síkbeli) vektorok körében definiálni egy "értelmesen működő" szorzási műveletet, azaz ami zárt (nem vezet ki a halmazból), és (a nullvektort kivéve) minden vektorra létezik a szorzásra nézve inverzelem (multiplikatív inverz, reciprok). Ha ezt két valós számmal próbáljuk megcsinálni, sehogy sem sikerül; de ha igénybe vesszük az $i$ képzetes egységet, akkor igen. Konkrétan:

 $(a+bi)\cdot (c+di)=ac-db+(bc+ad)i$

Ez továbbra is egy egyértelmű komplex szám (teljesül a szorzásra a zártság), és 

A számfogalom bővítéseinek előnyei és hátrányai összefoglalva:

Részhalmaz, valódi részhalmaz

Egy $A$ halmaz részhalmaza a $B$ halmaznak, ha $A$ minden eleme eleme $B$ halmaznak is. Jelölése:

$$A \subseteq B$$

Az $A$ valódi részhalmaza $B$-nek, ha ezen túl $B$-nek van olyan eleme is, ami nem eleme az $A$ halmaznak, jele:

$$A \subset B$$

Diszjunkt halmazok

Ha két halmaznak nincs közös eleme (metszete), akkor azok diszjunkt halmazok.

Rendezett halmaz

Olyan halmaz, amiben létezik (megfelelő szabályoknak eleget tevő) rendezési reláció, ami alapján bármely két elemről eldönthető, hogy melyik kisebb (nagyobb) vagy melyik van előrébb (hátrébb). Szemléletesen az elemeknek van egy "természetes" (eredeti) sorrendje, és az $A$ halmaz bármely $A_i$ és $A_j$ eleméről egyértelműen eldönthető, hogy melyikük van előrébb, azaz melyikük sorszáma kisebb:

$$i \lt j$$

Ha az $A$ halmaz pl. valós számokból áll, akkor a dolog egyszerű, de pl. betűkből vagy szavakból álló halmaz is lehet rendezett (ha pl. a betűk ABC-sorrendje alapján).

Halmazok Descartes-féle szorzata (direktszorzat, Kartézi-szorzat)

Két (vagy több) halmaz elemeiből képzett rendezett párok (illetve rendezett n-esek) halmaza.

$$A \times B=\{(a;b)∣a \in A,\ b \in B\}$$

A direktszorzat kiejtve "á kereszt bé", a jele tök ugyanaz a $\times$ karakter, ami a vektorok vektoriális szorzását jelöli, például a Lorentz-erőben $F_\mathrm{L}=q(\vec{v} \times \vec{B})$, illetve az USA-ban az alapfokú oktatásban a számok szorzását: $2\times3=6$.

A halmazok Descarte-szorzatának neve elsőre zavarosnak tűnik, hiszen itt eredményül egy rendezett számpárt kapunk, míg két szám szorzásakor egyetlen számot. Az elnevezést mégis megtámogatja számos szempont (pl. az eredményül kapott, számpárokból álló halmaz elemszáma pont annyi, amennyi az eredeti két halmaz elemszámainak szorzata; ha az összeadás halmazos megfelelője a halmazunió, és a szorzásé a Descartes-szorzat, akkor a disztributív törvény fennáll; ha nulla szám halmazos megfelelője az üres halmaz, akkor a "nullával szorzás nullát ad eredményül" itt is teljesül ).

Halmazok Descartes-szorzatára a legegyszerűbb esetek, amikor a két halmaz számokból áll, ekkor a Descartes-szorzat rendezett számpárokat ad eredményül.

Példa:

Az $x \text{-} y$-sík pontjai, melyek a vízszintes és függőleges koordinátákból (mint számokból) álló rendezett számpárok:

$$P(x; y)=(3; -4)$$

Ilyenkor, ha a számok meghatározott halmazba tartoztak (pl. $\mathbb{R}$ valós, $\mathbb{Z}$ egész, $\mathbb{C}$ komplex) akkor az eredményül kapott számpárokra használjuk az alábbi jelölést:

$$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to {\mathbb{R}}^2$$

Ez így ejtjük: "er-kettő".

Példa arra, ha két halmaz, melynek keresztszorzatét vesszük, nemcsak számokat tartalmaz:

$A=\{1; 2\}$

$B=\{x; y\}$

Ekkor:

$$A \times B=\{(1;x);(1;y);(2;x);(2;y)\}$$

A rendezett számpár kitétel miatt a sorrend is számít, tehát az $(x;1)$ számpár nem eleme az $A\times B$ halmaznak (hanem a $B \times A$ halmaznak eleme). Tehát általában:

$$A \times B \neq B \times A$$

Három halmaz esetén a Descartes-szorzat rendezett hármasokból áll. Például ha az előbbi $A$ és $B$ halmaz mellé még van a

$C=\{\alpha; \beta\}$

halmaz is, akkor a $A \times B \times C$ Descartes-szorzat halmaz $2^3=8$ elemű:

$$A \times B \times C=\{(1;x; \alpha);(1;x;\beta),(1;y;\alpha),(1;y;\beta);(2;x; \alpha);(2;x;\beta),(2;y;\alpha),(2;y;\beta)\}$$

A "füzetbe rajzolt" derékszögű koordinátarendszer (sík) pontjait az $x\text{-}$ és $y$ tengelyeket alkotó valós számok rendezett számpárjai alkotják:

$$\mathbb{R} \times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$$

A 3-dimenziós tér pontjait pedig:

$$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^3$$

Reláció (hozzárendelés)

Az $R$ reláció egy hozzárendelési szabály, mely egy $D$ halmaz (domain = tartomány, forráshalmaz, alaphalmaz, kiindulási halmaz, első komponens) elemeihez egy $C$ halmaz (codomain, célhalmaz, második komponens) elemeit rendeli.  Azaz a két halmaz Descartes-szorzatainak bármilyen részhalmaza:

$$R \subseteq D \times C$$

Ezen túl nincs semmiféle megkötés, emiatt a relációk rettentő sokfélék lehetnek, például az alábbi szempontok szerint:

• a forráshalmaz és a célhalmaz lehetnek azonosak, részben különbözőek (az egyik a másiknak részhalmaza) vagy akár diszjunktak
• a reláció egy forráshalmazbeli elemhez hány elemet rendel hozzá (egyet sem; egyet vagy többet, akár végtelen sokat)
• a reláció egy célhalmazbeli elem hány forráshalmazbeli elemhez van hozzárendelve (egyhez sem; egyhez vagy többhöz is, akár végtelen sokhoz)

A célhalmaz azon elemei, amelyekhez történik hozzárendelés (amik "használva vannak") alkotják a képhalmazt. A képhalmaz részhalmaza a célhalmaznak. Ugyanez a bonyodalom elvileg a forráshalmaznál is fennállna, de mivel a fizikában a relációknak csak bizonyos (kötöttebb) fajtái (a leképezések) fontosak, és ott ez definíció szerint kizárt (lásd alább), ezért nincs külön elnevezés a forráshalmaz azon részhalmazára, mely a "használatban lévő" elemeit tartalmazza.
 

Leképezés és függvény

A relációk egy részhalmaza a leképezések, amiknek egy részhalmaza a függvények. A leképezésekre (és így a függvényekre is) fennáll, hogy:

• a $D$ forráshalmaz minden eleméhez történik hozzárendelés
• a $D$ minden eleméhez pontosan egy elem van hozzárendelve a $C$ célhalmazból.

Tehát a $D$ forráshalmaz minden eleme "használva van", méghozzá pontosan egy (a hozzárendelést szimbolizáló) "nyilacska" indul ki belőlük. A $C$ célhalmaznak azonban lehetnek "szinglijei" (akik nincsenek hozzárendelve senkihez, nem érkezik beléjük "nyilacska").

A függvények olyan leképezések, amikor a forráshalmaz elemei és a célhalmaz elemei is számok (míg leképezéseknél bármilyen ojektumok lehetnek, pl. vektorterek stb).

Függvényeknél a forráshalmazt értelmezési tartománynak nevezzük, a képhalmazt pedig értékkészletnek. Függvényeknél képhalmaznak hívjuk a célhalmaz azon részhalmazát, melyben a hozzárendelésben részt vevő elemek találhatók, jele $Im(f)$ (az image=kép szó után).

Példa (precízen):

$D=\mathbb{R}$ (valós számok)

$C=\mathbb{R}$

$f:\ D \to C=x^2$

Az $x^2$ függvény minden valós számra értelmezhető (negatívokra és pozitívokra egyaránt), de az eredménye csak nulla vagy pozitív lehet, így a $C$ értékkészlet halmaz (valós számok) elemei közül csak a nemnegatívokhoz történik hozzárendelés. Az $f(D)$ képhalmaz a nemnegatív valós számok, ami részhalmaza a valós számoknak. Az értékkészlet "szingijei" a negatív valós számok, mert ők nincsenek hozzárendelve senkihez.

Ezzel szemben a középiskolai matematikában egy függvénynél nem szokás megadni célhalmazt, hanem (didaktikai egyszerűsítésként) a "függvény által felvett értékeket", azaz a képhalmazt nevezik értékkészletnek. Középiskolában az értelmezési tartomány jele $D_f$, az értékkészletnek nevezett képhalmazé $R_f$. A fenti $f(x)=x^2$ esetben a gimiben $R_f=[0; + \infty [$.

Mivel a függvények a leképezések egy leszűkített fajtái, így a csoportosításuk jóval egyszerűbb. Függvényeknél a forráshalmazban nem lehetnek "szinglik", és egy elemhez mindig pontosan egy elem lehet csak hozzárendelve, ezért a függvények már csak az alábbi szempontok szerint lehetnek különfélék:

1. injektív
Ilyenkor forráshalmaz különböző elemeihez mindig különböző célhalmazbeli elemet rendel (nincs "ütközés a célhalmazba csapódáskor").

Ha $d_1 \neq d_2 \to f(d_1) \neq f(d_2)$

2. szűrjektív

Ilyenkor minden célhalmazbeli elemhez van legalább egy $D$ halmazbeli elem, melyhez ő hozzá van rendelve. Vagyis a célhalmaz minden eleme "használatban van", azaz a képhalmaz azonos a célhalmazzal (a célhalmazban sincsenek "szinglik").

$\forall\ c \in C$ esetén $\exists \ d \in D$ amelyre fennáll, hogy $ f(d)=c$

Ha mindkettő szempont fennáll, akkor a leképezést bijektívnek hívjuk, ilyenkor "tökéletes párosítás" van: minden $d \in D$ és minden $c \in C$ elemnek van párja a másik halmazban, és senki nem maradt pár nélkül. A bijektív leképezések amiatt fontosak, mert csak ezeknek lehet inverzük, és a csoportelméletben ez fontos lesz.

Ábrával összefoglalva:

Permutáció

A kombinatorikában permutáció alatt egy rendezett halmaz elemeinek egy adott sorrendjét értjük (melyik elem áll az első helyen, második helyen stb). A permutációk számát szokás kiszámolni, ami  azt mutatja, hogy hány különféle sorrendbe rendezhetők a halmaz elemei.

Ezzel szemben a csoportelméletben a permutáció egy függvény, méghozzá bijektív önleképezés:

$$f: A \to A$$

azaz nem az elemek egy adott sorrendje, hanem egy transzformáció: egy $A$ halmaz minden eleméhez hozzárendeli ugyanezen $A$ halmaz valamely elemét:

• vagy valamelyik másik elemet (az ilyen elemet változó elemnek hvjuk)
• de az is lehet, hogy, ugyanazt az elemet, ha ő nem lett kicserélve a permutációban (az ilyen fix elem)

Kifejezőbb lenne ezt a csoportelméleti permutációt inkább permutálásnak nevezni, hogy kihangsúlyozzuk, hogy ez egy átrendezés, átalakítás, transzformáció, nem pedig az elemek egy konkrét sorrendeje.

Egy $A$ halmazon végrehajtható permutációk csoportot alkotnak, méghozzá úgy, hogy (nem az $A$ halmaz elemei, hanem) a lehetséges permutációk $P$ halmaza alkotja a csoportot, a permutációkon értelmezett művelettel együtt, ami művelet a kompozíció (a permutációk mint függvények egymás utáni alkalmazása, végrehajtása, tehát egymás után történő elemcserék).

A permutáció, mint az $A$ halmazra ható függvény jelölése $\pi (A)$ vagy $\sigma(A)$. Megadása többféle módon történhet. A legkönnyebben átlátható (hagyományos) mód a Cauchy-féle kétsoros jelölés: egy sorba feltüntetjük az összes elemet, és mindegyik alá odaírjuk, hogy az ő helyére ki kerül majd a permutáció eredményeként:

$$\pi (A)=\begin{pmatrix} a & b & c &d & e &f\\ a & c &b & e & f & d \end{pmatrix}$$

Itt az $a$ fix elem, a többi változó elem.

Ebben a felírásban a halmaz minden elemének lesz egy "eredeti" sorszáma (ettől a halmaz még továbbra is rendezetlen) és lesz egy új, "permutált" sorszáma is. Például a $b$ elem eredetileg 2. volt, majd 3. lett. Két különböző elemről

$$A_i, A_j \in A, \quad i\neq j$$

egyértelműen eldönthető (mind az eredeti felrásban, mind az permutáltban), hogy melyik van "előrébb"("hátrébb"), az alapján, hogy melyiknek kisebb (nagyobb) a sorszáma. Ezt a tulajdonságot nevezzük precedenciának (elsőbbség, megelőzés). A precedencia szempontjából mindegy, hogy az előrébb lévő hány hellyel van előrébb. Amikor két elemet nézve az eredeti precedencia a permutáció során megváltozik (azaz az eredetileg hátrébb lévő "előrébb kerül", előz, az eredetileg előrébb lévő pedig hátrébb kerül), akkor azt mondjuk, hogy ez a két elem (elempár) inverzióban van:

$$i>j \quad \pi(i)<\pi(j)$$

Összeszámolhatjuk, hogy hány olyan elempár van, amik inverzióban vannak (ilyenkor egy elem lehet, hogy többször is számba lesz véve, hisz több másik elemmel is fennállhat a részéről, hogy megváltozott egymással az "elsőbbségük"). Az inverzióban lévő elempárok száma a permutáció inverziószáma, jele:

$$I(\pi)$$

Az inverziószám megmutatja, hogy hány "elemi csere" (szomszédos elemek felcserélése) révén lehet az eredeti (inverziómentes) állapotból (sorrendből) eljutni a permutált állapotba.

A permutáció $I(\pi)$ inverziószáma mindig természetes szám (nulla is lehet, amikor minden elem fix). Emiatt az inverziószám vagy páros szám, vagy páratlan, ezért beszélhetünk az inverziószám paritásáról, amit a permutáció paritásának is hívunk. Tehát egy permutáció vagy páros vagy páratlan.

A permutáció előjele alatt a $(-1)$ emelését értjük az inverziószám kitevőre::

$$\operatorname{sgn}{\pi}=(-1)^{I(\pi)}$$

A permutáció előjele páros inverziószám esetén $+1$, páratlan inverziószám esetén $-1$, de mondhatjuk egyszerűen pozitívnak vagy negatívnak is.

A permutáció paritása megmutatja, hogy páros számú vagy páratlan számú elemcsere révén lehet az eredeti sorrendből eljutni az új, permutált sorrendbe. Bár általában több különféle elemcseresorozat révén is megvalóstható egy adott permutáció, de belátható, hogy ezek mind azonos paritásúak.

A permutáció paritása sokszor elő fog kerülni a fizikában (a Levi-Civita-szimbólumban, mátrix determinánsának kiszámításánál, elektrodinamikában, kvantummechanikában, relativitáselméletben).

A transzformáció tágabb fogalom a permutációnál, azaz minden permutáció transzformáció, de nem minden transzformáció permutáció. Például egy síkon értelmezett eltolás az transzformáció, de nem permutáció, mert "nem permutálja egymás között" a sík pontjait, hiszen minden pontot más pontba visz át. Véges halmazok esetén a transzformációk mindig értelmezhetők permutációként, végtelen halmaz esetén viszont nem.

Izometrikus transzformációk (izometriák)

Olyan leképezések, melyek távolságtartók, és ebből következően szögtartók is.

Speciálisan síkban minden izometrikus transzformáció az alábbi 4 alapfajtába sorolható:

1. Eltolás (transzláció), ez minden pontot ugyanazon vektorral eltol

2. Forgatás (rotáció), ez egy rőgzített pont körüli elforgatás adott szöggel

3. Tükrözés (reflexió), ez egy egyenesre történő tükrözés

4. Csúsztatva (csúszó) tükrözés, ez 

Bináris művelet

Olyan $\ast$ művelet egy $H$ halmaz elemein, melynek két elem bemenete van és zárt (vagyis kimenetként szintén a $H$ halmaz egy elemét kapjuk):

$$\ast : H \times H \to H$$

Példák:

1. Összeadás a természetes számokon (pl. $3+5=8$ esetén az eredmény is természetes szám)

2. Szorzás a valós számokon (az eredmény is valós szám)

3. Mátrixszorzás kompatibilis mátrixokon

4. Logikai műveletek (ÉS, VAGY)

Példák két bemenetű műveletre, mely amiatt nem bináris, mert az eredmény kivezet az eredeti halmazból:

1. Kivonás a természetes számok halmazán (pl. $3-5=-2$ ami már nem természetes szám)

2. Osztás az egész számok halmazán (pl. $1:2=0,5$ ami már nem egész szám)

A gimis fizikában a skaláris szorzást (pongyolán) egy vektorokon értelmezett műveletnek nevezzük. Máris látjuk, hogy ez nem igaz, mert a skaláris szorzás két vektort "eszik", de skalárt ad eredményül, vagyis kivezet a vektorok halmazából (valójában egy bilineáris forma, funkcionál, lásd később).  

Csoport (group)

Csoportot alkot egy $H$ nemüres halmaz egy, a $H$ elemein értelmezett

$$\circ: H \times H \to H$$

bináris művelettel együtt, ha teljesülnek az alábbi ún. csoportaxiómák:

0. Zártság (belső művelet)
$\forall a, b \in H$ esetén $a\circ b \in H$

(Amiatt csak nulladik feltétel, mert a bináris művelet fogalma már tartalmazza a zártságot, de didaktikai okoból szokás kihangsúlyozni.)

1. Asszociativitás  
$\forall a, b, c \in H$ esetén $(a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c)$

2. Létezik semlegeselem (neutrális elem, identitáselem)
$\forall a \in H$ esetén $\exists e \in H$ melyre teljesül $a \circ e=e \circ a=a$

A semlegeselemet az összeadás művelet esetén zéruselemnek is hívjuk (mert a 0 teljesíti a fenti kritériumot), szorzásnál pedig egységelemnek (mert az 1 teljesíti).  

3. Létezik inverzelem
$\forall a \in H$ esetén $\exists a^{-1} \in H$ melyre teljesül $a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e$

Az inverzelemet az összeadás műveletnél "ellentett"-nek hívjuk (mert a $-a$ teljesíti a fenti kritériumot), szorzásnál pedig reciproknak (mert az $\displaystyle \frac{1}{a}$ teljesíti).

Ezeken túl ha a művelet kommutatív is, akkor Abel-féle (abeli; ejtsd "ábeli") csoportról beszélünk:

$\forall a, b \in H$ esetén $a \circ b=b \circ a$

A legegyszerűbb csoportok olyanok, amikben a $H$ halmaz valamilyen számokból áll (racionális, valós, komplex), a művelet pedig az alapműveletek, az összeadás vagy a szorzás. Például a racionális, a valós és komplex számok csoportot alkotnak az összeadással, ráadásul kommutatív csoportot. De ugyanezek a számhalmazok a szorzással már nem alkotnak csoportot, mert az egyik elemüknek (a nullának) nem létezik inverzeleme. Tehát ki kell vennünk belőlük a nullát (például $\mathbb{R} \setminus 0$ lesz a halmaz), ez már csoportot alkot a szorzás művelettel (méghozzá kommmutatív csoportot).

Ennél már komplikáltabb eset, amikor a halmaz továbbra is számokból áll, de a művelet, amivel csoportot alkot, az összeadásnál, szorzásnál bonyolultabb. Például a relativisztikus sebességösszeadás, mint művelet a valós számok $(-c; c)$ nyílt intervallumára, mint halmazra csoportot alkot: 

$$u \oplus v=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

A fizikában azonban sokkal gyakoribb és fontosabb, amikor a $H$ halmaz nem is számokból áll, hanem műveletekből, a csoportképző művelet pedig a kompozíció (a műveletek egymás utáni végrehajtása). A halmazt alkotó művelet rendkívül sokféle lehet:

• geometriai transzformációk (eltolás, forgatás)
• boost (váltás különböző sebességű megfigyelők között) a relativitáselméletben
• mátrixszorzás (mértékelméletekben, részecskefizikában)
• tükrözés (térbeli- illetve idő-) részecskefizikában
• permutáció (a részecskék felcserélése, kvantummechanikában)

Gyakori csoportok a fizikában:

1. Additív csoportok

• $(\mathbb{R}, +)$ vagyis a valós számok az összeadás művelettel
• $(\mathbb{R}^n, +)$ vagyis valós számokból álló rendezett szám n-esek (pl. komponensekből összeálló vektorok) az összeadás művelettel
• $(\mathbb{C}, +)$ vagyis komplex számok az összeadás művelettel (pl. hullámok amplitúdóinak összeadásánál)

Additív csoportok skaláris mennyiségek (tömeg, töltés, energia, idő) leírására szolgálnak. 

2. Kommutatív multiplikatív csoportok

• mértékegység-átváltások
• $U(1)$ csoport (kvantummechanika, elektrodinamika, QED)

3. Nem-kommutatív multiplikatív csoportok

• mátrixcsoportok
• forgatások és Lorentz-transzformációk (relativitáselmélet)
• erős és gyenge kölcsönhatás (QCD)

4. Forgáscsoportok

• $SO(2)$ síkbeli forgatások (ez abeli csoport)
• $SO(3)$ térbeli forgatások (ez nemabeli csoport)

Forgáscsoportokban a $H$ halmaz elemei a forgatások (amik transzformációk, azaz bijektív önleképezések, azon belül távolságtartó transzformációk, amiből következően szögtartók is), a $H$ halmazon értelmezett művelet pedig a kompozíció (a forgatások egymás utáni alkalmazása).

5. Unitér csoportok (kvantummechanikai)

• $U(1)$ 
• $SU(2)$
• $SU(3)$

6. Lorentz- és Poincaré-csoportok (relativitáselmélet)

7. Diszkrét csoportok (kristálytan, molekulaszimmetriák)

• Permutációs csoportok $P_n$
• Diédercsoportok $D_n$

Test (field)

A test fogalma a kommutatív csoportból származtatható. Ha egy halmaz (például a valós számok) kommutatív csoportot alkot az összeadással, és (az összeadás semlegeselemét, azaz a zéruselemet, tehát a nullát kivéve a halmazból) kommutatív csoportot alkot a szorzással is, továbbá a szorzás és összeadás műveleteket összeköti a disztributivitás, akkor testről beszélünk.

Részletesen: egy test egy (nem üres) $H$ halmaz, amelyen két művelet van definiálva
$H \times H \to H$ összeadás $(+)$  
$H \times H \to H$ szorzás $(\cdot )$

tehát a két műveletre nézve a $H$ halmaz zárt (a művelet eredménye is a $H$ halmaz eleme, "a művelet nem vezet ki belőle"), és a két műveletre teljesülnek az alábbi ún. testaxiómák:

1. Az összeadás axiómái

• asszociatív ("átzárójelezhető")  
  $(a+b)+c=a+(b+c)$
• kommutatív (felcserélhető)  
  $a+b=b+a$
• létezik semlegeselem (itt, az összeadásnál: nullelem)  
  $a+0=a$
• minden elemnek van inverze (itt, az összeadásnál: additív inverz, ellentett)  
  $a+(-a)=0$

2. A szorzás axiómái

• asszociatív ("átzárójelezhető")  
  $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
• kommutatív (felcserélhető)  
  $a \cdot b=b\cdot a$
• létezik semlegeselem (itt, a szorzásnál: egységelem)  
  $a\cdot 1=a$
• minden (nemnulla) elemnek létezik inverze (itt, a szorzásnál: multiplikatív inverz, reciprok)  
  $a\cdot a^{-1}=a$ ahol $a\cdot a^{-1} \in H$

3. Disztributivitás ("szétterjedés")

• A szorzás disztributív az összeadásra:  
  $a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$

Példák testekre:

• Racionális számok $\mathbb{Q}$
• Valós számok $\mathbb{R}$
• Komplex számok $\mathbb{C}$

Nem test:

• Egész számok $\mathbb{Z}$ (mert pl. a 2 multiplikatív inverze $1/2$ lenne, de ez $\notin \mathbb{Z}$)
• Természetes számok $\mathbb{N}$ (mert pl. a 2 multiplikatív inverze $1/2$ lenne, de ez $\notin \mathbb{Z}$)
• Adott méretű mátrixok (mert nem mind invertálható)

Gyakran (a rövidség kedvéért) mondunk olyat, hogy "az $\mathbb{R}$ test", ami nem precíz, hiszen a valós számok halmaza önmagában nem alkot testet (csak az összeadás és a szorzás műveletekkel együtt), de sokszor feltételezhető, hogy ezt a plusz információt "úgyis tudjuk".

Vektortér (lineáris tér)

Legyen

• $V$ egy nemüres halmaz (melynek elemei az ún. vektorok, de vektor nagyon sok minden lehet, nemcsak "irányított szakasz", lásd alább)
• $\mathbb{K}$ egy test (általában az $\mathbb{R}$ valós vagy a $\mathbb{C}$ komplex számtest), melynek elemei a skalárok

Azt mondjuk, hogy $V$ vektortér a $\mathbb{K}$ test felett, ha ezeken értelmezhető két művelet (a vektorok összeadása és a vektorok skalárral való szorzása), és teljesülnek az alábbi axiómák minden $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ vektor és minden $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ skalár esetén:

1. A vektorok összeadására vonatkozó axiómák

• asszociatív  
  $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
• kommutatív  
  $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$
• létezik semleges elem (itt: nullvektor)  
  $\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
• létezik inverzelem (itt: additív inverz, ellentett)  
  $\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}$

2. A vektorok skalárral való szorzására vonatkozó axiómák

• disztributivitás vektorok összegére  
  $\alpha (\vec{u}+\vec{v})=\alpha \vec{u}+\alpha \vec{v}$
• "disztributivitás skalárok összegére" (pongyolán)
  $(\alpha + \beta)\vec{v}=\alpha \vec{v}+ \beta \vec{v}$
  Ez valójában a skalárral való szorzás kompatibilitása a skalártesten belüli összeadással és a vektortéren belüli összeadással. (A bal oldalon a zárójelen belül skalárok összeadása szerepel, majd az eredmény skalár szorzása történik vektorral, míg a jobb oldalon vektorok skalárral szorzását követően vekorok összeadása zajlik.) 
• "vegyes asszociativitás" (pongyolán)
  $\alpha (\beta \vec{v})=(\alpha \beta)\vec{v}$
  Ez valójában a vektor skalárral való szorzásának kompatibilitása a skalártestbeli szorzással (ami skalár szorzása skalárral), hiszen ez két különböző művelet. A bal oldalon csak az első művelet szerepel a jobb oldalon mindkettő. 
• létezik semlegeselem (ami a skalártest egységeleme)  
  $1 \vec{v}=\vec{v}$

Amikor van egy $V$ vektortér a $\mathbb{K}$ test felett, olyankor megkülönböztetünk belső és külső műveletet:

• belső művelet: a vektorok összeadása, mert mindkét bemeneti változó a vektorok $V$ halmazából jön
• külső művelet:  a skalárral szorzás, mert az egyik bemeneti változó a $V$ vektorok halmazából jön, de a másik a $\mathbb{K}$ testből

Ezek megléte biztosítja, hogy vektortérről beszélhessünk. Ezen túl lehet definiálni további műveleteket is, de azok nem szükségesek a vektortérhez. Pl. ha definiálunk még egy szorzás műveletet is, akkor már egy ún. algebrát kapunt (az adott $\mathbb{K}$ test felett). Pl. ha a 3D vektorokra definiáljuk a vektroiális szorzás műveletet, akkor a Lie-algebrát kapjuk, vagy ha a mátrixokra definiáljuk a mátrixszorzás műveletet, akkor kapjuk a mátrixalgebrát.

Vektorteret nemcsak a gimis matekban megismert vektorok (irányított szakaszok) alkothatnak, hanem nagyon sokféle $V$ halmaz alkothat egy $\mathbb{K}$ test felett, ha értelmezzük rajtuk az összeadást és skalárral szorzást a fenti műveleti szabályoknak megfelelően. Néhány példa, ahol nem közönséges vektorokból áll a vektortér $V$ halmaza:

• függvényterek: függvények összeadására és skalárral való szorzására is fennállhatnak a fenti szabályok. Ilyen vektortér a kvantummechanikában a Hilbert-tér, ami komplex változójú, négyzetesen integrálható függvényekből áll.
• mátrixterek: $m \times n$-es mátrixokra kiválóan teljesülnek a fenti szabályok
• megoldásterek: bizonyos homogén lineáris differenciálegyenletek megoldásai is vektorteret alkotnak. Ha $f(x)$ és $g(x)$ megoldásai az egyenletnek, akkor az $f(x) + g(x)$ is az lesz.  Rezgéseknél az alaphangnak és a felhangoknak a lineárkomninációi alkotnak egy függvényteret, melyekből (a fizikai törvényszerűségek révén) a hullámegyenlet kiválaszt bizonyos megoldásokat, melyek a függvénytér egy alterét alkotják. Ehhez hasonlóan az elektrodinamikában a Maxwell-egyenletek megoldásai (az elektromágneses hullámok) is megoldásteret alkotnak.
• véges vagy végtelen számsorozatok (digitális jelfeldolgozásnál)

Lineáris leképezés vs lineáris transzformáció vs lineáris operátor

Ezek gyakran szinonimaként használt, de nem teljesen azonos fogalmak.

A lineáris leképezés ezek közül a legáltalánosabb fogalom: van két vektorterünk, $V$ és $W$, melyek különbözhetnek is, és van egy $f: V \to W$ függvény, melyre teljesül (a linearitást biztosító) két feltétel:

1. additív
minden $\vec{v_1}; \vec{v_2} \in V$ esetén
$f(\vec{v_1}+\vec{v_2})=f(\vec{v_1})+f(\vec{v_2})$

2. homogén
minden $\lambda$ és $\vec{v}$ esetén
$f(\lambda \vec{v_1})=\lambda f(\vec{v_1})$

Belátható, hogy a fenti két feltételnek kizárólag az

$$f(\vec{v})=c \cdot \vec{v}$$

függvények tesznek eleget, ahol $c$ valós vagy komplex szám, attól függően, hogy a vektortér milyen számhalmaz (skalártest) felett értelmezett ($\mathbb{R}^n$ vagy $\mathbb{C}^n$). Kellemetlenség, hogy a gimnáziumi síkgeometriában lineáris függvény alatt az

$$f(x)=a\cdot x +b$$

alakú függvényeket értjük, merthogy ezek képe egyenes, de ezek csak a $b=0$ speciális esetben viszik a nullát a nullába (grafikusan szólva: mennek át az origón, az $O(0;0)$ ponton). Ezzel szemben a lineáris algebrában a lineáris függvényre a homogenitás csak akkor teljesül $\lambda=0$ esetén, ha

$$f(\vec{0})=\vec{0}$$

vagyis egy lineáris függvény a nullvektort mindig a nullvektorba viszik át, ezért a lineáris algebrában a lineáris függvény mindig "át kell menjen az origón". A lineáris algebrában az $f(x)=a\cdot x +b$ alakú függvényeket affin függvényeknek nevezzük.

Minden lineáris leképezés reprezentálható egy adott mátrix-szal (pontosabban az azzal való szorzással), és minden mátrix (pontosabban a vele való szorzás) egy lineáris leképezést valósít meg.

Lineáris transzformációról (endomorfizmus) akkor beszélünk, ha egy lineáris függvény önleképezést végez, vagyis az indulási $V$ halmaz az érkezési $W$ halmazzal azonos (szemléletesen: pl. ha egy síkidomot transzformálunk, pl. tükrözünk, forgatunk, nyújtunk, nyírunk), akkor az továbbra is egy síkidom marad, vagyis a transzformáció révén nem lépünk ki az eredeti halmazból). A lineáris algebrában nagyon sok izgalmas jelenség csak a lineáris traszformációk sajátja, ezért jelentősek a lineáris transzformációk (pl. sajátfüggvények és sajátértékek, determinánsok, diagonalizálás és báziscsere, szuperpozíció, magtér és képtér, invariáns alterek).

A lineáris transzformációk tulajdonságai:

• az origót nem transzformálja (minden lineáris leképezés ilyen)
• egyenest egyenesbe, síkot síkba transzformál, és amik eredetileg párhuzamosak voltak, azok párhuzamosak is maradnak (vagy egy egyenesbe olvadnak össze), a rácsvonalak négyzetei paralelogrammákká transzformálódhatnak, de egymással párhuzamosak maradnak
• aránytartás: ha egy pont egy szakaszon mondjuk felező- vagy harmadolópont volt, akkor az is marad a transzformált szakaszon is

Lineáris operátorról akkor beszélünk, amikor egy lineáris transzformáció nem "gimis vektorokra" hat, hanem olyan függvényekre, melyek vektorteret alkotnak ($\to$ Vektortér). Például a differenciáloperátor egy lineáris operátor, mely egy függvényhez hozzárendeli annak deriváltfüggvényét.

Oszlopvektorok, oszloptér

Egy $A\vec{x}=\vec{v}$ lineáris transzformáció $A$ mátrixának oszlopaira vektorként tekinthetünk, ezeket a mátrix oszlopvektorainak hívjuk, jelük $\vec{a}_j$ (mivel egy mátrix sorait $i$ indexszel, az oszlopait $j$ indexszel jelöljük). Az oszlopvektorok az eredeti bázisvektorok transzformáltjai, tehát megmutatják, hogy mivé viszi át a transzformáció a bázisvektorokat. Mivel a kiindulási halmaz elemei (vektorai) az eredeti bázisvektorok lineárkombinációi, azért a kimeneti halmaz elemei (vektorai) az oszlopvektorok lineárkombinációi, ezt hívjuk oszloptérnek (column space), ami minden $\vec{v}$ eredményvektort tartalmaz. Az egyszerűbb négyzetes mátrixok esetében:

$$\text{Col}(A)=\{\vec{v} \in \mathbb{R}^n; A\vec{x}=\vec{v}\  \text{valamely} \  \vec{x} \in \mathbb{R}^n \  \text{esetén}\}$$

Nulltér

Minden lineáris transzformációra fennáll, hogy a nullvektort a nullvektorba viszi át, ugyanis a

$$f(\lambda \vec{v_1})=\lambda f(\vec{v_1})$$

homogenitási feltétel $\lambda=0$ esetén így alakul:

$$f(\vec{0})=\vec{0}$$

ha mindkét oldalon alkalmazzuk, hogy bármely $v_1$ vektort a $\lambda=0$ skalárral szorozva nullvektort kapunk.

Vannak olyan lineáris transzformációk, melyek a nullvektoron kívük más vektorokat is a nullvektorba visznek át. A nullvektorba transzformálódó vektorok összességét a transzformáció nullterének nevezzük:

$$\text{Null}(A)=\{x \in \mathbb{R}^n; Ax=0\}$$

Mely vektorok alkotják a nullteret?

Sorvektorok, sortér

A lineáris transzformációt reprezentáló $A$ mátrix soraira is tekinthetünk vektorokként, ezek a mátrix sorvektorai, amik úgy is tekinthetők, mint a mátrix $A^T$ transzponáltjának oszlopvektorai. A sorvektorok jele $\vec{a}_i$ mivel a mátrix sorait $i$ indexszel jelöljük.

Minden $\vec{a}_i$ sorvektornak az $\vec{x}$ vektorral vett skalárszorzata kiadja a $\vec{v}$ kimeneti vektor adott komponensét:

$$\vec{a}_i \vec{x}=v_i$$

Nézzünk egy 2D példát! Legyen

$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

$$\vec{v}=(3; 4)$$

Ekkor a sorvektoraink:

$$\vec{a}_1=(2; 1)$$

$$\vec{a}_1=(0; 2)$$

A $\vec{v}$ kimeneti vektor komponensei:

$$v_1=3=2x+y$$

$$v_2=4=0x+2y$$

A sorvektorokból kilineárkombinálható vektorok összessége a sortér.

Szinguláris mátrix

Olyan transzformációt reprezentáló mátrix, aminek nulltere nemcsak a nullvektorból áll, tehát vannak olyan pontok a nullvektoron kívül is, amiket a nulvektorba viszi át. 

Szinguláris mátrixú transzformációnál dimenzióvesztés és inormációvesztés történik:

• a 2D sík pontjait egy egyenesbe viszi át, vagy egy pontba (az origóba)
• a 3D tér pontjait egy síkba, vagy egy egyenesbe vagy egy pontba (az origóba)

Szinguláris mátrix determinánsa mindig nulla.

Mivel szinguláris mátrix transzformációja során dimenzióvesztés történik, így nem létezik olyan mátrix, ami "visszacsinálná" az eredeti szinguláris mátrix hatását, hiszen a "több pont transzformálódott egy pontba" művelet visszafelé azt jelentené, hogy "egy pont transzformálódna több pontba", csak hát függvény esetén egy ponthoz nem rendelhető hozzá több különböző pont. Emiatt szinguláris mátrix nem invertálható.

Szinguláris mátrix oszlopai lineárisan összefüggőek (egymás valahányszorosai), például:

$$\begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 21 \end{bmatrix}$$

Szinguláris $A$ mátrix esetén az

$$Ax=v$$

egyenletrendszernek bizonyos $v$ vektorok esetében nulla megoldása van (amikor a $v$ vektor a nulltér része), más $v$ vektorok esetében pedig végtelen sok megoldása van.