A földi légkör (atmoszféra) nyomása, a légnyomás amiatt alakul ki, mert a Föld, mint hatalmas tömegű objektum, gravitációs vonzóerőt fejt ki a légkör minden egyes molekulájára. Lokálisan "lefelé", távolról nézve a Föld középpontja felé.
Ennek hatására a légkör molekulái miért nem zuhannak le és csapódnak be mind a talajra? Mert a szilárd felszínnek van egy elég magas hőmérséklete, ami miatt az ő részecskéinek szüntelen, heves hőmozgása van, így amikor egy légköri gázmolekula lejut a földfelszínre, ott nem megáll, hanem a heves hőmozgással rezgő felszíni atomok egyikétől kap egy nagy pofont, és jó nagy sebességgel visszarepül felfelé vagy oldalirányba. Szobahőmérsékleten emiatt a levegő nitrogén- és oxigénmolekuláinak átlagos sebessége $\displaystyle \approx 500\ \mathrm{\frac{m}{s}}=1800\ \mathrm{\frac{km}{h}}$ körül van, ami gyorsabb a legtöbb repülőnél is! A levegőmolekulák másodpercenként kb. 5 milliárdszor ütköznek az útjukba kerülő testek atomjaival illetve a többi gázmolekulával.
De mi a helyzet a légkör felsőbb részein? Tudjuk, hogy a magas hegyekben "ritkább a levegő", azaz kisebb a $p$ nyomása és a $\varrho$ sűrűsége. De pontosan hogyan, milyen ütemben csökkennek ezek felfelé? A valóságban rettentő bonyolultan, hiszen a légköráltalában áramlik, folyamatosan változik a hőmérséklete, továbbá van nedvességtartalma, aminek parciális nyomása is változik a hőmérséklettel, ráadásul a nedvesség időnként ki is csapódik stb.
A barometrikus magassságformula érvényessége
Mi most csak egy nagyon egyszerű, speciális esetben vezetjük le, hogy hogyan csökken felfelé a nyomás és a sűrűség, az alábbiakat feltételezve:
- a levegő nyugalomban van (szélcsend)
- a levegő hőmérséklete állandó (az egyszerűség érdekében)
- a $g$ nehézségi gyorsulást felfelé haladva állandó (a csökkenését lelhanyagoljuk)
- a levegő ideális gáz (nincs benne páratartalom, kicsapódás, kémiai reakció, por stb)
A barometrikus magasságformula levezetése
Szemeljünk ki egy vékony, $A$ felületű levegőréteget $h$ magasságban, amiben a nyomás és a sűrűség állandónak vehető:
A jelöléseink a következők:
- $T$ az állandó hőmérséklet
- $h$ a felszíntől mért magasság
- $p_0$ a levegő felszíni nyomása
- $p$ a levegő nyomás $h$ magasságban
- $\varrho_0$ a levegő felszíni sűrűsége
- $\varrho$ a levegő sűrűsége $h$ magasságban
- $M$ a levegő (átlagos) moláris tömege
- $A$ a kiszemelt vékony levegőréteg vízszintes felülete
- $\mathrm{d}h$ a kiszemelt vékony levegőréteg vastagsága
A kiszemelt levegőréteg nyugalomban van, így a rá ható erők eredője nulla kell legyen. Három erő hat rá:
- alulról nyomja felfelé az alatta lévő levegő $pA$ erővel
- felülről nyomja lefelé a felette lévő levegő $(p+\mathrm{d}p)A$ erővel
- a levegőrétegre hat nehézségi erő lefelé
A nehézségi erőhöz írjuk fel először a levegőréteg tömegét:
$$\mathrm{d}m=\varrho \, \mathrm{d}V=\varrho A \, \mathrm{d}h$$
Így a levegőrétegre ható nehézségi erő:
$$\mathrm{d}m\, g=\varrho Ag \, \mathrm{d}h$$
Most már felírhatjuk, hogy az erők eredője nulla. Az irányok figyelembe vételével, felfelé véve a pozitív irányt:
$$pA-(p+\mathrm{d}p)A-\varrho Ag \, \mathrm{d}h=0$$
A levegőréteg $A$ felületével egyszerűsíthetünk:
$$p-p-\mathrm{d}p-\varrho g \, \mathrm{d}h=0$$
Egyszerűsítve:
$$-\mathrm{d}p-\varrho g \, \mathrm{d}h=0$$
$$\mathrm{d}p=-\varrho g \, \mathrm{d}h \tag{1}$$
Ez azt szépen mutatja, hogy a nyomás a magassággal csökken, ami közismert tapasztalat a hegyekben, repülőknél. De az még nem jó nekünk, hogy az egyenletben a $p$ nyomás, a $\varrho$ sűrűség és a $h$ magasság is változó. Eliminálnunk kell valahogy az egyik változót, és mivel mi a nyomás magasságfüggését keressük, ezért a sűrűséget iktatjuk ki. Ehhez az ideális gáz állapotegyenletét hívjuk segítségül, hisz ebben az egyszerű közelítésben a levegőt annak tekintjük:
$$pV=nRT$$
de mivel nekünk a $\varrho$ sűrűség az eliminálandó változónk, ezért átírjuk sűrűséget tartalmazóra:
$$pV=\frac{m}{M}RT$$
$$pM=\frac{m}{V}RT$$
$$\frac{m}{V}=\varrho =\frac{pM}{RT} \tag{2}$$
Ezt írjuk be a $\varrho$ helyére az $(1)$ egyenletbe:
$$\frac{1}{p}\mathrm{d}p=-\frac{M}{RT} g \, \mathrm{d}h$$
$$\frac{1}{p}\mathrm{d}p=-\frac{Mg}{RT} \, \mathrm{d}h$$
Ezt az egyenletet kiintegrálhatjuk a peremfeltételekkel, miszerint
- $h=0$ esetén a nyomás $p_0$
- $h$ magasságban pedig $p$
$$\int_{p_0}^{p} \frac{1}{p'}\, \mathrm{d}p'=-\frac{Mg}{RT} \int_{0}^{h} \mathrm{d}h'$$
Az integrálásokat elvégezve:
$$\ln(p)-\ln(p_0)=-\frac{Mg}{RT}(h-0)$$
$$\ln\left(\frac{p}{p_0}\right)=-\frac{Mgh}{RT}$$
Hattassuk mindkét oldalra az $\ln x$ függvény inverzét, vagyis az $e^x$ függvényt:
$$\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{Mgh}{RT}}$$
$$p=p_0 e^{-\frac{Mg}{RT}h} \tag{3}$$
A kitevőt az ideális gáz állapotegyenletéből kapott $(2)$ egyenlettel átírva, és a keresett $p$ nyomásra kirendezve:
$$\boxed{p=p_0 e^{-\frac{\varrho_0 g}{p_0}h}}$$
Ezt az ideális gáz állapotegyenletével átírva a sűrűség magasságfüggését is megjkapjuk:
$$\boxed{\varrho=\varrho_0 e^{-\frac{\varrho_0 g}{p_0}h}}$$
A barometrikus magasságformula értelmezése
A formula független a talaj tengerszint feletti magasságától, vagyis akárhonnan indulhatunk felfelé (a $p_0$ és $\varrho_0$ értékek az indulás helyén vett értékek (nem a tengerszinten vettek).
A formulára pillantva megállapíthatjuk, hogy a nyomás és a sűrűség felfelé exponenciálisan csökken. Mivel $e$ alapú az exponenciális függés, ezért közvetlenül azt olvashatjuk le, hogy milyen magasságban lesz a nyomás és hőmérséklt a kiindulási érték $e$-ad része, azaz $1/e\approx 37\%$-ára, ezt hívjuk skálamagasságnak. Ez akkor lesz, amikor
$$p=p_0 \frac{1}{e}=p_0 e^{-1}$$
tehát amikor az exponenciális tényező kitevője (exponens) éppen $-1$ értékű. Nézzük a formula eredeti $(3)$ alakját, jelölje $h_{\mathrm{1/e}}$ ezt a magasságot:
$$-\frac{Mg}{RT}h_{\mathrm{1/e}}=-1$$
$$\frac{Mg}{RT}h_{\mathrm{1/e}}=1$$
$$h_{\mathrm{1/e}}=\frac{RT}{Mg}$$
Azt kaptuk, hogy a "milyen magasságban csökken $e$-ad részére a nyomás, sűrűség" kérdésre a válasz függ a levegő $M$ moláris tömegétől, az (állandónak feltételezett) $g$ nehézségi gyorsulástól, az $R$ egyetemes gázállandótól és a szintén állandónak feltételezett $T$ hőmérséklettől, de azért nagyjából hasonló értékek Párizsban és Budapesten. Ha a budapesti értékeket beírjuk a normál állapot $0\ \mathrm{^\circ C}$ hőmérsékletével:
$\displaystyle M=29\ \mathrm{\frac{g}{mol}}=0,029\ \mathrm{\frac{kg}{mol}}$
$\displaystyle g=9,81\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$
$\displaystyle R=8,31\ \mathrm{\frac{J}{mol \cdot K}}$
$T=0\ \mathrm{^\circ C}=273\ \mathrm{K}$
akkor a keresett skálamagasság
$$h_{\mathrm{1/e}}=7974\ \mathrm{m}\approx 8\ \mathrm{km}$$
A Föld átlagos $15\ \mathrm{^\circ C}$ hőmérsékletén ugyanez a skálamagasság 8,5 km.
Valljuk be, az agyunk számára szemléletesebb a "milyen magasságban csökken a felére", ezért írjuk át a $(3)$ egyenletet 2-es alapú exponenciálissá:
$$e^x={\left(2^{\log_{2}e}\right)}^x=2^{x\cdot \log_{2}e}$$
Mivel
$$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$$
ezért az $e^x$ így alakítható tovább:
$$e^x=2^{\frac{x}{\ln 2}}$$
Ezzel a barometrikus magasságformula:
$$p=p_0 2^{-\frac{Mg}{RT \ln 2}h}$$
Amilyen $h$ esetén lesz ennek kitevője épp $-1$, ott válik a nyomás a kiindulási érték felévé, jelölje ezt $h_{1/2}$! Számítsuk ki:
$$-\frac{Mg}{RT \ln 2}h_{1/2} =-1$$
$$\frac{Mg}{RT \ln 2}h_{1/2}=1$$
$$h_{1/2}=\frac{RT \ln 2}{Mg}$$
Az adatokat beírva:
$$h_{1/2}=5540\ \mathrm{m} \approx 5,5\ \mathrm{km}$$
Tehát kb. 5,5 km-enként csökken a nyomás és sűrűség a felére, mármint lenne ez, ha a kiindulási feltevéseink fennállnának. De durva közelítésnek azért jó ez. Így már érthető, miért nincsenek nagyon 5000 méter felett lakott települések, mert ott már fele akkora a légnyomás, és a levegő sűrűsége, így egy belélegzéssel fele annyi oxigén jut a szervezetünkbe.
Mennyire jó közelítés a barometrikus formula? Az alábbi grafikon összehasonlítja a formula jóslatát meteorológiai léggömbökkel mért nyomásértékekkel 30 km-es magasságig:
Azt láthatjuk, hogy néhány km magasságig a barometrikus formula nagyon jó közelítést ad, de aztán eltávolodik a valóságtól. Ennek oka, hogy az izotermikus feltevésünk az első pár km-en még elég jól teljesül, de 10 és 20 km környékén a hőmérséklet jelentősen alacsonyabb, kb. $-60\ \mathrm{^\circ C}$, majd tovább haladva felfelé a hőmérséklet emelkedni kezd, és 50 km körül újra visszatér $0\ \mathrm{^\circ C}$ köré:
