II. Hierón a Szicíliában található görög polisznak, Szirakuszának volt a királya az i.e. 3. században. Egyszer "aranykoronát" készíttetett magának egy aranyművessel. Akkoriban ezek a fejdíszek általában növényi levelekből álló füzért mintáztak, mint egy babérkoszorú:
A király átadott az aranyművesnek egy bizonyos tömegű színaranyat, tömb formájában. A fennmaradt korabeli aranykoszorúk jellemzően $100\ \mathrm{g}$-ot nyomtak. Amikor elkészült Hierón koronája, valaki megvádolta az aranyművest, hogy az arany egy részét kilopta belőle, és ezüsttel pótolta, vagyis a korona nem színarany, hanem arany-ezüst ötvözet (mely a színe alapján nem megkülönböztethető). Hiába tették rá a koronát egy mérlegre, az mutatta ugyanazt a $100\ \mathrm{g}$-ot, amennyi színaranyat kapott az aranyműves. Hogyan lehetne eldönteni, hogy a vád igaz, tehát az aranyműves csalt, vagy csak alaptalan feltételezés?
Az ókorban már ismert volt, hogy az arany és az ezüst bármilyen arányban ötvözhető. De míg a színarany sűrűsége $19,3\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}$, a színezüsté csak $10,49\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}$. A különböző arányú arany-ezüst ötvözetek sűrűségét az alábbi diagram mutatja az aranytartalom tömegszázalékos értékének függvényében:
Arról, hogy a görbe alakja furcsa mód miért nem egyenes, itt lehet olvasni.
A kérdés könnyen eldönthető lett volna úgy, hogy a koronát beolvasztották volna és beleöntötték volna egy tömb (hasáb) formába. Az így kapott derékszögű tömb élhosszait könnyen le lehet mérni, amiből a $V$ térfogata az élhosszok összeszorzásával megvan:
majd a
$${\varrho }=\frac{m}{V}$$
sűrűség definíció segítségével gyorsan meg lehetett volna állapítani a sűrűségét. Ha az így kapott sűrűség kisebb, mint a színarany $19,3\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}$‑s értéke, akkor csalás történt. Ha a kapott sűrűségérték megegyezett volna a színarany sűrűségével, elvileg még akkor is lehetne a korona ötvözet, de ahhoz az arannyal megegyező sűrűségű fémmel (vagy fémekkel) kellett volna helyettesíteni az aranyat, ami akkoriban nem állt rendelkezésre. Az arannyhoz hasonlóan nagy sűrűségű nehézfémek jó része ráadásul vagy az aranynál is drágább (platina, ozmium, iridium), vagy radioaktív (urán). A volfrám ugyan szinte tökéltetesen azonos sűrűségű az arannyal, olcsó és nem is radioaktív, de azt csak 1781‑ben fedezték fel.
Azonban a király tudta, hogy létezik alaptalan gyanúsítás is a világban (nem is ritkán), márpedig ha a beolvasztás után kiderül, hogy a korona mégis színaranyból készült, akkor a becsületes aranyműves szép munkáját alaptalanul tennék tönkre. Ezért a király a nagy tudóshoz, Arkhimédeszhez fordult, hogy dolgozzon ki "roncsolásmentes" eljárást arra, hogy a koronáról kiderüljön, színaranyból van‑e vagy sem.
A legenda szerint Arkhimédész a fürdőben egy dézsa vízben lemerülve épp azt figyelte, hogyan emelkedik a dézsa belső oldalfalán a vízszint, és ekkor jött rá, hogyan is teljesíthetné a királytól kapott feladatot.
Állítólag örömében meztelenül futott végig a szicíliai Szirakuza utcáin egészen hazáig, azt kiáltozva, hogy "Heuréka!" vagyis "Megtaláltam!". Egyesek szerint a koronát vízbe mártva megnézte a vízszint emelkedését az edényben, az edény $A$ alapterületének és a $h$ emelkedési magasságnak a szorzata pedig megadta a megemelkedő vízszint miatti (látszólagos) térfogatváltozást, ami pedig a korona $V$ térfogatával egyenlő:
\[V=A\cdot h\]
A korona tömegét a térfogattal elosztva megkapta a korona sűrűségét, amit már csak a színarany $19,3\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}$‑s értékével kellett összevetnie. Ezzel a legendával azonban van némi gond.
Egy felnőtt ember feje kb. $20\ \mathrm{cm}$ ármérőjű, ezért a szétálló levelek miatt a korona vízbe mártásához legalább $30\ \mathrm{cm}$ átmérőjű vízzel telt edényre van szükség. Ha a korona az akkoriban szoksáos $100\ \mathrm{gramm}$ tömegű, akkor színarany esetén a térfogata
$$V={{m}\over {\varrho }}={{100\ \mathrm{g}}\over {19,3\ \displaystyle \mathrm{{{g}\over {\ {cm}^3}}}}}=5,18\ \mathrm{{cm}^3}$$
míg például $30\%$ ezüsttartalom esetén
$$V={{m}\over {\varrho }}={{100\ \mathrm{g}}\over {15,5\ \displaystyle \mathrm{{{g}\over {\ {cm}^3}}}}}=6,45\ \mathrm{{cm}^3}$$
A $30\ \mathrm{cm}$ átmérőjű edény keresztmetszete
$$A={\left({{d}\over {2}}\right)}^2\cdot \pi ={\left({{30\ \mathrm{cm}}\over {2}}\right)}^2\cdot \pi ={\left(15\ \mathrm{cm}\right)}^2\cdot \pi =706,8\ \mathrm{{cm}^2}$$
ebbe a színaranyat belemerítve az $0,0073\ \mathrm{cm}$ vízszint emelkedést okoz (ami eleve tizedmilliméternél is kisebb!), a $30\%$‑os ötvözet pedig $0,0091\ \mathrm{cm}$ emelkedést. A két vízszintemelkedés közötti különbség:
$$\Delta h=0,0091\ \mathrm{cm}-0,0073\ \mathrm{cm}=0,0018\ \mathrm{cm}\approx 0,02\ \mathrm{mm}$$
azaz csupán két századmilliméter. Ezt a kor technikai színvonalán biztosan nem volt lehetséges kimérni. Úgyhogy Arkhimédesz feltehetően máshogy döntötte el a kérdést.
Az egyszerű, vízkiszorításos módszer
Egyik lehetőség, hogy az edényt még a korona bemerítése előtt túlcsordulásig töltötte vízzel. A korona bemártásától ismét kicsorduló vizet pedig egy edényben felfogta, és lemérte annak tömegét. A $100\ \mathrm{grammos}$ koronát alapul véve színarany esetén $5,18\ \mathrm{cm^3}=5,18\ \mathrm{g}$ víz csordul ki, míg az ötvözetnél $6,45\ \mathrm{cm^3}=6,45\ \mathrm{g}$. Az $1,27\ \mathrm{g}$ különbség kicsinek tűnik, de már egyértelműen jól mérhető mérlegen, tekintettel arra, hogy az ókori ezüstdénár kb. $4,5\ \mathrm{g}$ tömegűek voltak, így a pénzváltók tizedgramm pontossággal tudtak mérni.
A módszerrel bármilyen objektum térfogata meghatározható:
A felhajtóerős módszer
A másik lehetőség, hogy Arkhimédész az által felfedezett felhajtóerőt használta ki. Egy érzékeny kétkarú mérleg egyik oldalára egy cérnán akasszuk fel a koronát, a másik oldalra pedig (ugyanolyan távolságba) szintén cérnára függesztve akasszunk egy vele azonos tömegű, azaz $100\ \mathrm{g}$-os színarany tömböt. Levegőben a mérleg egyensúlyban van. Azonban ha mindkettő fém a vízbe merül, akkor ha a korona hamis (ötvözet), akkor a színaranyhoz képesti nagyobb térfogata miatt nagyobb mennyiségű vizet szorít ki, így a rá ható felhajtóerő is nagyobb lesz, hiszen az a kiszorított víz súlyával egyezik meg. Az ötvözet $6,45\ \mathrm{cm^3}$ térfogata $1,27\ \mathrm{cm^3}$ vízzel többet szorít ki, mint a színarany $5,18\ \mathrm{cm^3}$ térfogata. Ez a kicsinek tűnő $1,27\ \mathrm{g}$ súlynak megfelelő erő a mérleg egyensúlyát határozottan megbontja:
A vízbe merült állapotban megpróbálhatjuk az egyensúlyt visszaállítani a korona oldalára lógatott többlet súlyokkal, így meg is határozhatjuk, hogy pontosan mekkora a korona sűrűsége.
Nincs új a Nap alatt
Mielőtt azt hinnénk, hogy az aranyhamisítás már csak a régmúlt divatja, lássunk 3 példát a közelmúltból!
2015‑ben Magyarországon a Kézizálog Zrt. (amelynek már a tulajdonosi szerkezete is egy Zrt‑hez méltóan impozáns volt: egyetlen magánszemélyből, Bíró Péterből állt) $100\ \mathrm{kg}$‑nyi, trombitakészítéshez használt rézötvözettel követett el aranytömb-hamisítás sorozatot, mellyel 30 milliárd Ft kárt okozott, cikk itt.
2013‑ban egy 3 fős londoni banda a garázsban olcsó fémpénzeket aranyszínű spray‑jel fújkálva állított elő "arany érméket", erről cikk itt.
2012‑ben New Yorkban pedig vékony aranyréteggel bevont volfrám tömböket találtak. A volfrám ugyan sokkal drágább (az aranynál csak nagyjából 5-ször olcsóbb), mint a gyakoribb "aranyhelyettesítő" ólom vagy trombitaréz, de az ő $19,25\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}$ sűrűsége igen nagy pontossággal (mindössze $0,25\%$‑os eltéréssel) egyezik meg az arany $19,3\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}$ sűrűségével. Az ilyen, volfrámos arany hamisítvány leleplezésére Arkhimédesz egyik módszere sem alkalmas. Az esetről cikk itt és itt és itt.
A DailyMail cikke szerint 2016-ban egy brit nyugdíjasotthonba hívtak értékbecslőt, aki megdöbbent, mikor talált kartondobozvban újságpapírok között egy 2300 éves, $100\ \mathrm{g}$ tömegű színarany fejdíszt, mely legalább $100.000\ \mathrm{GBP}$ értékű
Mai módszerek az arannyal azonos sűrűségű "dúsítóanyagok" lebuktatására
Vajon akkor hogyan lehetne roncsolásmentes eljárással rájönni, hogy az aranytömb belül volfrám? Több lehetőség is adódik:
- (Ultra)hang terjedési sebességének mérése alapján (az aranyban $3240\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$, míg a volfrámban $5460\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$)
- Hőtágulás alapján (a volfrámé 3,2‑ször kisebb, mint az aranyé)
- Erős mágneses térbe helyezéskor ébredő erő vagy inkább forgatónyomaték irányának vizsgálata (az arany diamágneses, a volfrám paramágneses)
- gyakori átmágnesezésekkor a hiszterézisveszteség különböző a fémekben, így a fémek felmelegedése is különböző
- Sugárzások elnyelődésének mérése (a röntgensugárzás elnyelődése arányos a Z rendszám 3‑adik hatványával, ami miatt
$\displaystyle \frac{\ 79^3}{\ 74^3}=\displaystyle \frac{493\ 039}{405\ 224}=1,2167$
alapján egyforma vastag rétegek esetén aranyban $21\%$‑kal több nyelődik el, mint a volfrámban