A sebességfogalom bevezetése
A maratontfutás kb. 42 km-es távját a legjobbak kb. 2 óra alatt futják le.
- Milyen gyorsan futnak ilyenkor?
Ha a választ egyetlen sszámmal szeretnénk megragadni, akkor a fenti két adatból kell csinálnunk egy harmadikat. Ha az utat és az időt elosztjuk egymással:
$$\mathrm{\frac{\text{út}}{\text{idő}}=\frac{42\ km}{2\ h}=21\ \frac{km}{h}}$$
akkor az egy órára jutó utat kapjuk meg, és ezt elnevezzük sebességnek, amit \(v\) betűvel jelölünk.
\[\frac{s}{\Delta t}\equiv v\]
A sebesség SI-mértékegysége:
$$[v]=\frac{[s]}{[\Delta t]}=\mathrm{\frac{m}{s}}$$
A közúti forgalomban a sebesség hétköznapi egysége a $\displaystyle \mathrm{\frac{km}{h}}$, az USA-ban az $\mathrm{mph=miles\ per\ hour}$ azaz mérföld per óra (ahol a mérföld "szárazföldi", ami 1609 méter), a tengeri hajózásban pedig a $\mathrm{knot}$ magyarul "csomó", ami "tengeri mérföld per órát" jelent (1 tengeri mérföld 1852 méter).
Az átlagsebesség
Valójában a maratonfutó az elején még kicsit gyorsabban futott, a végén pedig (fáradva) kissé lassabban, ezért a fent kiszámított sebességünk nem írja le minden pillanatban a mozgás tempóját, sebességét, hanem csak egy átlagos értéket ad. Az út és az eltelt idő hányadosa valójában az átlagsebességet jelenti:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s}{\Delta t}\]
Pillanatnyi sebesség
Ha a test mozgása nem egyenletes, akkor az átlagsebesség nem ad elég információt. Ha egy adott pillanatban szeretnénk tudni a sebességet, akkor ezen pillanat körül egy kellően rövid időtartamra kell néznünk az átlagsebességet, ez a pillanatnyi sebesség:
\[v_{\mathrm{pill}}=\frac{s}{\Delta t}\]
Mennyire kell rövidnek lennie az időtartamnak? Ez attól függ, hogy
- milyen hirtelen (milyen gyors ütemben) változik épp a test sebessége
- mennyire pontosan szeretnénk tudni a sebességet
Ha a test sebessége egyáltalán nem változik, akkor bármilyen hosszú időtatrtamot is vehetünk, úgy is pontos pillanatnyi sebességet ad az átlagsebesség. Minél gyorsabb tempóban változik a sebesség, annál rövidebb időtartamra kell venni az átlagsebességet (olyan rövid időtaertamra, ami alatt már alig, csak elhanyagolható mértékben változik a sebesség), hogy elég nagy pontossággal megkapjuk a pillanatnyi sebességet.
Pillanatnyi sebességet mutat a járművek régi, mechanikus "mutatós" kilométerórája, amit közvetlenül az autó egyik tengelye forgat, így "azonnal reagál", mindig felveszi a pillanatnyi sebességet:
A digitális kilométerórák mindig egy rövid időre vett átlagsebességet mutatnak: kiszámolják egy kis eltelt idő alatt a megtett út és az idő hányadosát. Ugyanakkor manapság már elég rövid időre vett átlagot vesznek (úgymond nagy a mintavétel gyakorisága, frekvenciája), ezért az eredmény nagy pontossággal közelíti meg a pillanatnyi sebességet:
Kevésbé mondható el ez a pontosság a bicók digitális sebességmérőjéről. Azokban ugyanis egy küllőre erősített kis mágnes újra és újra elhalad a vázra erősített érzékelő előtt, és hogy mennyi idő alatt megy körbe, abból számolja az elektronika az átlagos sebességget (1 kör alatt a kerék külső kerületét teszi meg a bicó).
Állandó sebességű szakaszokból összeálló mozgás átlagsebessége
Egy vonat mozgása sokszor nagyrészt állandó sebességű szakaszokból áll, mert a pálya állapota miatt szakaszonként van valamekkora sebességkorlátozás. Hogyan számítsuk ki az átlagsebességet, ha tudjuk, hogy az egyes szakaszokon mekkora sebességgel mennyi ideig haladt a vonat? Természetesen az összes megtett utat el kell osztani az összes eltelt idővel. De ez milyen viszonyban van az egyes szakaszok sebességeivel? Az egyszerűség kedvéért csak két szakaszból álljon a mozgás:
- az első szakaszban $s_1$ utat $t_1$ idő alatt $v_1$ sebességgel
- a másodikban $s_2$ utat $t_2$ idő alatt $v_2$ sebességgel
tettünk meg. Írjuk fel az átlagsebességet:
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{s_\mathrm{ö}}{t_\mathrm{ö}}$$
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$$
Az első szakaszon a sebesség:
$$v_1=\frac{s_1}{t_1}$$
amiből
$$s_1=v_1 \cdot t_1$$
Ugyanígy a második szakasz megtett útja:
$$s_2=v_2 \cdot t_2$$
Ezeket beírva az előbbi egyenletbe:
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{v_1 \cdot t_1+v_2 \cdot t_2}{t_1+t_2}$$
A jobb oldalon a $v_1$ és $v_2$ sebességeknek a $t_1$ és $t_2$ időkkel súlyozott átlaga szerepel. Tehát az átlagsebesség úgy is kiszámítható, hogy az egyes szakaszok sebességeit nem egyszerűen átlagoljuk, hanem a hozzájuk tartozó időtartamokkal súlyozva átlagoljuk. Emiatt van, hogy az átlagsebesség csak abban az esetben egyezik meg a sebességek átlagával, ha a szakaszok azonos ideig tartanak. Például ha az út egyik felét kisebb sebességgel, a másik felét nagyobb sebességgel tettük meg, akkor az átlagsebesség közelebb lesz a kisebb sebességhez, mert azzal a fele utat hosszab ideig tattük meg (így nagyobb lesz a súlya az idővel súlyozott átlagban), mint a nagyobb sebességgel.
Kiegészítések a sebességhez
A sebesség jele latin szavak miatt lett \(v\) betű, a velox szó jelentése gyors, a velocitas szóé gyorsaság, sebesség (a Velociraptor dinoszauruszfajta "gyors ragadozó"-t jelent). Az angol nyelvben a sebességre két kifejezés is van. A hétköznapi nyelvben a speed szót használják, ugyanis ilyenkor a sebesség vektorjellege nem hangsúlyos, inkább csak a nagysága. A tudományos nyelvezetben, amikor a sebesség hangsúlyosan vektormennyiség, a velocity szót használják. Például az USA útjain látható Speed Limit közlekedési tábla a megengedett maximális sebesség számértékét mutatja ($\mathrm{mph}=\mathrm{mile\ per\ hour}$ azaz mérföld per óra egységben).
Precízebben, de még gimis szinten, a pillanatnyi sebesség egy vektor, méghozzá az origóból a testhez húzható $\vec{r}(x;; y; z)$ helyvektor egységnyi időre eső megváltozását, azaz a $\Delta \vec{r} (\Delta x; \Delta y; \Delta z)$ elmozdulásvektor egységnyi időre eső részét jelenti: $${\vec{v}}_{\mathrm{átl}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$ amit komponensenként is felírhatunk: $${\vec{v}}_{\mathrm{x}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$ $${\vec{v}}_{\mathrm{y}}=\frac{\Delta y}{\Delta t}$$ $${\vec{v}}_{\mathrm{z}}=\frac{\Delta z}{\Delta t}$$