A Rutherford-féle atommodell a hiányosságai miatt továbbfejleszésre szorult, vagyis a Bohr-féle atommodell megalkotása során (1913) Bohrnak mindkét problémát valahogy orvosolnia kellett. Tehát az atom új, Bohr-féle modelljében egyrészt valahogyan el kellett érni két célt:
- az atommag körül keringő elektron ne sugározzon (az atom stabilitása érdekében)
- az elektron energiája ne lehessen folytonosan változó értékű, hanem csak bizonyos meghatározott értékeket vehessen fel (a vonalas színképek magyarázata érdekében)
Az első probléma esetében Bohr tehetetlen volt, hiszen az elektronnak muszáj mozgásban lennie a mag körül, ugyanis ha álló helyzetben lenne, akkor az elektromos vonzóerő révén az atommag gyorsan maghoz rántaná, tehát hirtelen belezuhanna a magba. Viszont az elektrodinamika Maxwell által egyesített törvényei - melyek szerint a keringő elektronnak folyamatosan sugároznia kellene - olyannyira érvényesnek, a tapasztalattal mindig egyezőnek bizonyultak, hogy a maxwell-féle elektrodinamikát nem kérdőjelezhette meg (jogosan). A második probléma kezelése nem volt nehéz, így Bohr az alábbi irányba indult el:
- Egyszerűen "meg kell tiltani", hogy egy elektron az atom körüli pályáin keringve sugározzon; mondjuk azt, hogy bizonyos pályákon "mentesül" a sugárzás kényszere alól (egyelőre nem feszegetve ennek okát).
- Az elektron számára nem szabad megengedni, hogy akárhogyan (akármekkora sebességgel, akármekkora távolságban) keringjen, hanem valami megkötést kell tenni a "számára megengedett, sugrzásmentes" pályákra vonatkozóan.
Bohr ezt a két problémát az atommodelljében két posztulátummal oldotta meg. A posztulátum olyan kiinduló feltevés, melynek érvényességét nem vizsgáljuk, nem feszegetjük. Hanem a posztulátumból kiindulva számításokat végzünk konkrét esetekre (például kiszámítjuk a hidrogénatom elektronjainak energiaszintjeit), és majd a számítás (jóslat) végeredményeit vetjük össze a tapasztalattal. Ha egyezést tapasztalunk, az utólag, közvetett módon megerősíti a kiinduló feltevések helyességét. Ez szigorú értelemben ugyan nem bizonyítja a posztulátumokat, de megnyugtathat minket, megerősíti, hogy jó úton járunk. A Bohr-modell posztulátumai:
1. posztulátum (pályafeltétel)
Az elektronok csak olyan körpályákon keringhetnek az atommag körül, ahol a pálya-impulzusmomentumára fennáll:
\[mvr=n\cdot \hslash \]
ahol $m$ az elektron tömege, $v$ az elektron sebessége, $r$ a keringési körpálya sugara, $n=1;2;3;\ \mathrm{stb}$ pozitív egész szám (kvantumszám) és $\hslash $ a redukált Planck-állandó:
\[\hslash =\frac{h}{2\pi }\]
Tehát az elektron pálya-impulzusmomentuma csak a $\hslash $ egész számú többszöröse lehet. Az így meghatározott (megengedett) pályákat stacionárius (időben állandó) pályáknak nevezzük. Stacionárius pályán az elektron sebessége, atommagtól való távolsága, energiája időben állandó. Stacionárius pályán keringve az elektron nem sugároz elekromágneses hullámokat (amit a Maxwell-egyenletek alapján várnánk), bár a sugárzás elmaradását a Bohr-modell nem indokolja meg.
2. posztulátum (frekvenciafeltétel)
Az elektron az egyik stacionárius pályáról nem kerülhet akármilyen állapotba, hanem csak egy másik stacionárius pályára léphet át. Gerjesztődés során egy nagyobb energiájú pályára, míg legerjesztődés (relaxáció) során egy kisebb energiájúra. Ilyenkor az elektron a két pálya energiájának különbségét felveszi illetve leadja fotonkisugárzás révén. Tehát a foton energiája
\[E_f=h\cdot f=E_2-E_1\]
ahol $E_f$ a foton energiája (elnyelt vagy kisugárzott), $f$ a foton frekvenciája; $E_1$ és $E_2$ pedig az elektron összenergiája a két pályán.
A Bohr-modell vállaltan korcs (szalonképesebben szólva hibrid) elmélet, félig még klasszikus, de félig már modern. Az elektront még klasszikus szemlélettel, az atommag körül keringő golyóként írja le, de a pályafeltételben már olyasvalami szerepel, ami a folytonos függvényekkel machináló klasszikus fizika számára idegen: egy fizikai mennyiség értéke nem változhat meg tetszőlegesen kis értékkel, hanem csak meghatározott lépésekkel, ugrásokkal. Bohr tisztában volt vele, hogy ezen ellentmondások miatt a modellje nem lehet az atomi elektron leírásának teljes, végső változata, de akkor még (1913-ban) nem volt lehetősége jobbra. Nem kellett sokat várnia, mire egykori tanítványai felépítették az új fizikát: az 1920-as évek végén megszületett a kvantummechanika, mely az atomi elektron (és minden mikrovilágbeli objektum teljes, pontos leírását adja, csak sajnos már nem olyan szemléletes, könnyen elképzelhető, mint a klasszikus mechanika.
Számítsuk most ki a posztulátumokból a legegyszerűbb atom, a hidrogénatom egyetlen elektronjának pályasugarait, sebességeit, annak energiáit, és vessük össze a pályák energiakülönbségeit a hidrogén emissziós (kibocsátái) spektrumvonalainak megfelelő energiákkal!
Az \(r_{n}\) pályasugarak
Induljunk ki abból, hogy a hidrogánatomban a proton körül keringő elektronra mekkora Coulomb-erő hat:
\[F_{\mathrm{C}}=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}\]
Mivel a töltése a protonnak is és az elektronnak is $e$ elemi töltés nagyságú, ezért
\[F_{\mathrm{C}}=k\frac{\ e^2}{\ r^2}\]
Azért nem kellett foglalkoznunk azzal, hogy az elektron töltése negatív, a protoné pozitív, mert a töltések előjelei csak az ébredő erő irányára vannak hatással, a nagyságára nem, mi pedig tudjuk, hogy a Coulomb‑erő pont olyan irányú, amilyen centripetális gyorsulása van az elektronnak, hisz a Coulomb‑erő egymaga biztosítja az elektron centripetális gyorsulását (a proton és az elektron között ébredő gravitációs vonzás kb. $10^{39}$‑szer gyengébb, mint a Coulomb‑erő).
Ez a Coulomb‑erő tartja körpályán az elektront, tehát ez biztosítja a centripetális erőt, ami általában:
\[F_{\mathrm{cp}}=m \frac{\ v^2}{r}\]
alakú. Tehát:
\[k\frac{\ e^2}{\ r^2}=m\frac{\ v^2}{r}\]
\[k e^2=m r v^2\]
Vegyük ehhez hozzá Bohr I. posztulátumát:
\[mvr=n\hslash\]
Fejezzük ki ebből a $v$ sebességet:
\[v=\frac{n \hslash}{mr}\]
Fejezzük ki a sebesség négyzetét, mert a dinamikai egyenletbe ez szerepel:
\[v^2=\frac{n^2{\hslash^2}}{m^2r^2}\]
Ezt írjuk be a dinamikai egyenletből kapott egyenletbe:
\[ke^2=mr \frac{n^2{\hslash^2}}{m^2 r^2}\]
\[ke^2=\frac{n^2{\hslash^2}}{m r}\]
Ezt kirendezve a körpálya sugarára:
\[r=\frac{n^2 {\hslash^2}}{mke^2}\]
vagy szokásos jelölésekkel, ha a sugár alsó indexében $r_n$ formában jelezzük, hogy az az $n$ kvantumszám függvényében hányadik sugár:
\[\boxed{r_n=\frac{{\hslash }^2}{mke^2}\cdot n^2}\]
Illetve bevezetve az \(\displaystyle r_0=\frac{{\hslash }^2}{mke^2}\) jelölést:
\[r_n=r_0\cdot n^2\]
Azt látjuk, hogy a körpályák sugarai az $n$ kvantumszám négyzetével nőnek, vagyis a legkisebb sugárnak 4-szerese, 9-szerese, 16-szorosa stb a többi pálya sugara.
A legkisebb pályasugár értéke hidrogénatomra behelyettesítve:
\[r_0=0,053\ \mathrm{nm}\]
Kissé zavarosnak tűnhet, hogy a legkisebb sugarú pályát, mely esetében $n=1$, nem úgy jelöljük, mint az 1. pálya, hanem mint a 0. (nulladik). Ennek oka, hogy ez a legalacsonyabb energiájú pálya, ezért ezt alapállapotúnak nevezzük, az összes többit pedig gerjesztett állapotúnak. Emiatt az 1. gerjesztett pálya már a 2. pályát jelenti.
A \(v_n\) "keringési" sebességek
Számítsuk ki, hogy mennyi a kerületi sebessége az elektronnak az egyes pályákon! Ehhez a korábbi
\[v=\frac{n \hslash}{mr}\]
egyenletbe beírjuk az imént kapott
\[r_n=\frac{{\hslash }^2}{mke^2}n^2\]
kifejezést:
\[v=\frac{n\hslash}{\displaystyle m\frac{\hslash^2}{mke^2}n^2}\]
a műveleteket elvégezve és megint alsó indexben jelezve, hogy melyik, az $n$ kvantumszámmal jelzett pálya sebességéről van szó:
\[\boxed{v_n=\frac{ke^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}}\]
Tehát az elektron sebessége az egyre nagyobb $n$ kvantumszámú, és egyre nagyobb sugarú (távolabbi) pályákon egyre kisebb.
A legelső pályán, azaz az $n=1$ esetben, amit a nulladik, alapállapotú esetnek nevezünk, az elektron sebessége:
\[v_0=2,18\cdot {10}^6\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Ez elsőre óriási sebességnek tűnik, de ha jobban megnézzük, ez a \(\displaystyle c=3\cdot 10^8\ \frac{m}{s}\) fénysebességnek még az $1\%$‑a sincs.
Az elektron \(E^{\mathrm{kin}}\) mozgási (kinetikus) energiája
Számítsuk ki, hogy mekkora az elektron mozgási (kinetikus) energiája az egyes pályákon (természetesen továbbra is nemrelativisztikus esetben)! Ehhez használjuk a mozgási energia képletét:
\[E^{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2\]
\[E^{\mathrm{kin}}_n=\frac{1}{2}m{\left(\frac{ke^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}\right)}^2\]
\[\boxed{E^{\mathrm{kin}}_n=\frac{mk^2e^4}{2\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}}\]
Behelyettesítve az értékeket:
\[E^{\mathrm{kin}}_n=2,18\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}\cdot \frac{1}{n^2}\]
Az elektron \(E^{\mathrm{pot}}\) potenciális energiája
Számítsuk ki, mekkora az elektron elektromos potenciális energiája az egyes pályákon. Általában egy erő miatt jelentkező potenciális energiának a jelentése az, hogy mekkora munkát végez az adott kölcsönhatás ereje, miközben a két testet végtelen távolságra visszük el egymástól:
\[E^{\mathrm{pot}}=k\frac{Q_1Q_2}{r}\]
Itt most van jelentősége a töltések előjelének is: az atommag (proton) pozitív \(e\) elemi töltésű, az elektron viszont negatív elemi töltésű:
\[E^{\mathrm{pot}}=k\frac{e\left(-e\right)}{r}\]
\[E^{\mathrm{pot}}=-k\frac{e^2}{r}\]
A potenciális energia negatív előjele azt jelenti, hogy a Coulomb-erő munkája negatív lenne, miközben az elektron a protontól a végtelen távolba jutna el. Ugyanis a Coulomb-erő vonzó közöttük, tehát a széthúzást folyamatosan akadályozni próbálja. Vagyis a Coulomb-erő és az elmozdulás ellentétes irányúak, ilyenkor a munkavégzés negatív.
Írjuk be az $r_n$ pályasugarakra korábban kapott kifejezést:
\[r_n=\frac{\hslash^2}{mke^2}\cdot n^2\]
\[E^{\mathrm{pot}}_n=-k\frac{e^2}{\displaystyle \frac{\hslash^2}{mke^2}\cdot n^2}\]
\[\boxed{E^{\mathrm{pot}}_n=-\frac{mk^2e^4}{\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}}\]
Azt látjuk, hogy az elektromos kölcsönhatás potenciális energiája az alapállapotban a legnagyobb abszolút értékű, de mindig negatív. Konkrét értéke:
\[E^{\mathrm{pot}}_n=-4,36\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}\cdot \frac{1}{n^2}\]
Tehát azt látjuk, hogy alapállapotban a potenciális energia pont 2-szer akkora (és negatív értékű), mint a mozgási energia.
Az elektron teljes energiája
Az elektron teljes (totális) energiája a mozgási és a potenciális energiák összege::
\[E^{\mathrm{tot}}=E^{\mathrm{kin}}+E^{\mathrm{pot}}\]
\[E^{\mathrm{tot}}_n=\frac{mk^2e^4}{2\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}-\frac{mk^2e^4}{\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]
\[\boxed{E^{\mathrm{tot}}_n=-\frac{mk^2e^4}{2\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}}\]
Mivel nagyságra nézve a mozgási energia fele a potenciálisnak, csak az negatív, ezért az összenergia ugyanakkora nagyságú, mint a mozgási energia, csak vele ellentétes előjelű:
\[E^{\mathrm{tot}}_n=-2,18\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}\cdot \frac{1}{n^2}\]
vagy $\mathrm{SI}$ prefixummal:
\[E^{\mathrm{tot}}_n=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{n^2}\]
illetve az atomfizikában szokásos energiamértékegységgel, az $\mathrm{eV}$ elektronvolttal kifejezve:
\[E^{\mathrm{tot}}_n=-13,6\ \mathrm{eV}\cdot \frac{1}{n^2}\]
Az elektron energiaszintjeit méretarányos ábrán ábrázolva:
Átmenetek a stacionárius pályák között
Két stacionárius pálya közötti átmenet során az elektron az energiakülönbségét leadja vagy felveszi. Amikor magasabb energiájú pályára lép, azt gerjesztésnek nevezzük, amikor pedig alacsonyabb energiájú pályára, azt legerjesztődésnek. Az energia leadása/felvétele történhet fotonok segítségével, de máshogy is: például ütközés révén is kaphat annyi energiát, hogy feljusson valamelyik magasabb energiájú pályára, illetve energiát is veszíthet fotonkibocsátás nélkül (ezt hívjuk sugárzás nélküli legerjesztődésnek.
Az alábbi ábrán azt látjuk, hogy az $n=3$ kvantumszámú, $E_3$ energiájú pályáról az elektron legerjesztődik az $n=2$ kvantumszámú, $E_2$ energiájú pályára, és az $E_3-E_2$ energiakülönbségét kisugározza egy foton formájában:
A következő ábrán ennek a folyamatnak a megfordítottját látjuk: az $n=2$ kvantumszámú, $E_2$ energiaszinten lévő elektron elnyel egy $E_3-E_2$ energiájú fotont, és ennek révén feljut (gerjesztődik) az $n=3$ kvantumszámú, $E_3$ energiájú pályára:
Színképvonal sorozatok a hidrogén színképében
A hidrogénatom néhány átmenetét mutatja az alábbi, már nem méretarányos ábra:
Mivel az $n=1$ kvantumszámú pálya energiája 4-szer olyan mélyen van, mint az $n=2$ kvantumszámú és 9-szer olyan mélyen, mint azt $n=3$ kvantumszámú, ezért az $n=1$ pályát tartalmazó átmenetek jóval nagyobb energiájúak, mint bármelyik többi. Ehhez hasonlóan ha az elektron az $n=2$ pályáról lép fel bármelyik energiaszintre is, az is jóval nagyobb energiájú, mint amikor az $n=3$ pályáról lép fel. Emiatt az energiakülönbségek a nagyságuk szerint csoportokat alkotnak: az $n=1$ pályát tartalmazók messze a legnagyobb energiájúak, a többi közül az $n=2$ pályát tartalmazók jóal nagyobb energiájúak, mint a maradék,és így tovább. Emiatt az $n=1$ pályát tartalmazó átmenetek a nem látható ultraibolya (UV) tartományba esnek (ez a Lyman-sorozat), a többi közül az $n=2$ -t tartalmazók a már kisebb fotonenergiát jelentő látható fény tartományába (ez a Balmer-sorozat), a többiek pedig már a még kisebb fotonenergiájú infravörös (IR) tartományba. Történelmileg először a látható fény tartományába eső, később Balmer-sorozatnak nevezett színképvonalakat fedezték fel (Balmer egy svájci középiskolai fizikatanár, de nem ő fedezte fel ezeket a színképvonalakat, hanem ő talált rendszert a színképvonalak hullámhosszai között, amit akkor, 1885-ben nem értett senki, az majd csak 1913-ban a Bohr-modell segítségével vált érthetővé). Egy kémiai elemnek spektrumából a látható tartománba eső egyes színképvonalait szokás jelölni görög betűkkel. Például a hidrogén esetében $\mathrm{H_{\alpha}}$, $\mathrm{H_{\beta}}$, $\mathrm{H_{\gamma}}$ a színképvonalak jele.
A hidrogén energiaszintjeit méretarányosan ábrázolva az első 5 spektrum csoport:
Ha ki akarjuk emelni, hogy a Balmer-sorozat a látható fény (VL, visible light) tartomyánab tartozik, akkor így ábrázolhatjuk:
Ha a hidrogén spektrumát a \(\lambda\) hullámhossz tengelyen ábrázoljuk, akkor a spektrum csoportjai így jelennek meg:
A Bohr-modell eredményei és korlátai
A Bohr-modell sikerrel leírta:
- a hidrogénatom energiaszintjeit
- minden egyelektronos ("hidrogénszerű") ion színképvonalait $(\mathrm{He^{+}, Li^{2+}, Be^{3+}, B^{4+}, C^{5+}})$
- a normális Zeeman-effektust (a színképvonalak 2 vagy 3 vonalra történő felhasadását mágneses mezőben)
Azonban számos esetet már nem tudott leírni, megmagyarázni:
- a többelektronos atomok, ionok színképvonalait (mert az elektronok közötti, roppant bonyolult kölcsönhatásokat nem tudja figyelembe venni)
- a molekulák színképvonalait
- a kémiai kötéseket
- az anomális Zeemnan-effektust (amikor mágneses mezőben a spektrumvonalak a normális esetnél több vonalra hasadnak szét, illetve amikor bár a jósolt darabszámú vonalra hasadnak szét, de a felhasadások nem a normális módon függenek a mágneses mezőtől)
- a színkép finomszerkezetét (nagyon érzékeny spektrométerben a vonalak helyén mágneses mező nélkül is több vonal látszik)
A Bohr-modell értékelése
A Bohr-modell a klasszikus fizika egy csúcspontja, de egyben a haláltusája is. Talán a fizikatörténet utolsó nagy elmélete, mely még rendesen felfogható középiskolás szinten. Átvezetett az új világba, ahol az addigi szemléletes képek és folytonos függvények helyett már a nehezen szemléltethető, és a magas szintű matematika (komplex függvények, mátrixok, tenzorok és operátorok) használata elkerülhetetlen, cserébe az elméletek jóslatai rendkívüli egyezésben vannak a tapasztalatokkal.