Már ismerjük adott mennyiségű (\(n=\mathrm{konst.}\) vagy \(m=\mathrm{konst.}\)) ideális gáz esetén három speciális, egyszerű folyamatra (izoterm, izobár és izokór) a gáztörvényt. Foglaljuk össze egy táblázatban:
| specialitás | gáztörvény | diagramja \(p\unicode{x2013}V\) síkon | ||
| képlete | neve | egyenlete | neve (angolul) | |
| \(T=\mathrm{konst.}\) | izoterm | \[p\cdot V=\mathrm{konst.}\] | Boyle-Mariotte (Boyle's law) 1662 |  |
| \(p=\mathrm{konst.}\) | izobár | \[\frac{V}{T}=\mathrm{konst.}\] | Gay-Lussac I. (Charles's law) 1802 |  |
| \(V=\mathrm{konst.}\) | izokór | \[\frac{p}{T}=\mathrm{konst.}\] | Gay-Lussac II. (Gay-Lussac's law) 1802 |  |
A $T$ hőmérséklet mindenhol kelvinben $\mathrm{(K)}$ értendő!
Azonban a gázokkal zajló folyamatok végtelen sokfélék lehetnek. Például ha a nyomás is és a térfogat is nő, akkor bármilyen függvény szerint (bármilyen ütemben) növekednek, semmiképp sem jöhetnek szóba az eddigi speciális folyamataink:
De az ember mindig meg akarjuk úszni egyszerűbben a bonyolultat. A tudományban erre azt a szófordulatot használjuk, hogy a bonyolult esetet "visszavezetjük egyszerűbb eset(ek)re". Most is ezt fogjuk tenni. Az 1-es állapotból a 2-es állapotba nem egy lépésben, hanem két lépésben fogunk eljutni, egy K-val jelölt köztes állapoton át. Vajon ez nem baj, nem jelent ez teljesen más esetet? Nem, mert a nyomás, a térfogat és a hőmérséklet állapotjelzők, vagyis a végállapot egyértelműen meghatározza őket, azaz az értékük nem függ az odavezető folyamattól.
Vajon biztosan eljuthatunk barmelyik 1-es állapotból bármelyik 2-es állapotba? Egzakt biznyítás helyett megelégedhetünk az alább következő ábrasorral.
Azt reméljük, hogy a 3 speciális gáztörvény alapján felállíthatunk valami törvényszerűséget, ami a gázok nyomására, térfogatára, hőmérsékletére mindenféle folyamatban fennáll. Mivel a speciális törvények állandó mennyiségű gázra vonatkoztak, természetesen a remélt törvényszerűség is csak ilyen esetben lesz érvényes. Vagyis keresünk egy olyan egyenletet, amely összekapcsolja a gáz egyik ($p_1$, $V_1$, $T_1$ adatokkal meghatározott) állapotát és a másik ($p_2$, $V_2$, $T_2$ adatokkal meghatározott) állapotát.
De milyen két speciális folyamattal helyettesítsük az egyetlen folyamatot? Mivel 3 speciális folyamatunk van, abból 3-féleképpen választhatunk ki 2 speciális folyamatot (izobár és izokór; izobár és izoterm; izokór és izoterm), ha két különbözőt kell választanunk (márpedig igen, hiszen pl. két izobár folyamatból nem tudunk bármely másik pontba eljutni a \(p\thinspace \unicode{x2013}\thinspace V\) síkon). Ha a részfolyamatok sorrendje szerint is különbözőnek vesszük az eseteket, akkor pedig 6 lehetőség jön szóba:
 |  |
 |  |
 |  |
Mindegy, hogy melyiket választjuk a 6 eset közül, bármelyikből levezethetjük a keresett egyenletet. Most kettőnek megnézzük a levezetését, elsőként az ábrasorunkon az elsőét, az izobár-izokór esetet. Bármelyik másik hasonlóan levezethető.
Az izobár+izokór eset
Az első részfolyamatunk izobár, annak gáztörvénye:
\[\frac{V}{T}=\mathrm{konst.}\]
Fejtsük ezt ki a jelöléseinkkel, ha a kezdeti álapot az 1-es, és a köztes állapotot K alsó index-szel jelöljük:
\[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_{\mathrm{K}}}{T_{\mathrm{K}}}\]
A második részfolyamatunk izokór, aminek gáztörvénye:
\[\frac{p}{T}=\mathrm{konst.}\]
Fejtsük ezt ki a jelöléseinkkel. Most a köztes állapot a kiinduló, a 2-es pedig a végső:
\[\frac{p_{\mathrm{K}}}{T_{\mathrm{K}}}=\frac{p_2}{T_2}\]
Mi azt szeretnénk, hogy a kezdeti és a végállapot (1-es és a 2-es) állapotjelzői között álljon fel valami összefüggés. Vagyis az állapotjelzők értékei a köztes állapotban számunkra nem kellenek, tehát megszabadulhatunk tőlük, vagy fellengzősen szólva elimináljuk (kiküszöböljük, kiejtetjük) ezeket a tagokat.
Csakhogy a két egyenletből nem lehet eliminálni mind a 3 köztes tagot ($p_{\mathrm{K}}$, $V_{\mathrm{K}}$, $T_{\mathrm{K}}$). De még nem használtuk ki teljesen, hogy az első részfolyamat izobár, a második pedig izokór. Mivel az első folyamat izobár, ezért a köztes állapoti $p_{\mathrm{K}}$ nyomás megegyezik a $p_1$ kezdeti nyomással:
\[p_{\mathrm{K}}=p_1\]
Mivel a második folyamatunk izokór, ezért a köztes állapotbeli $V_{\mathrm{K}}$ térfogat megegyezik a $V_2$ végső térfogattal:
\[V_{\mathrm{K}}=V_2\]
Ezeket felhasználva a két egyenletünk ilyenre módosul:
\[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_{\mathrm{K}}}\]
\[\frac{p_1}{T_{\mathrm{K}}}=\frac{p_2}{T_2}\]
Itt már csak egyetlen olyan tag van, ami a (számunkra érdektelen) köztes állapotot jellemzi: a $T_{\mathrm{K}}$ köztes állapoti hőmérséklet. Fejezzük ki ezt a $T_{\mathrm{K}}$ tagot mindkét egyenletből:
\[T_{\mathrm{K}}=\frac{V_2\cdot T_1}{V_1}\]
\[T_{\mathrm{K}}=\frac{p_1\cdot T_2}{p_2}\]
A fenti két egyenletben a bal oldalak megegyeznek, így a jobb oldalaknak is meg kell egyezniük:
\[\frac{V_2\cdot T_1}{V_1}=\frac{p_1\cdot T_2}{p_2}\]
Rendezzük úgy ezt az egyenletet, hogy a bal oldalon az 1-es állapotot jellemző tagok legyenek, a jobb oldalon pedig a 2-es állapotot jellemző tagok:
\[\frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_2}{T_2}\]
Vagyis azt kaptuk, hogy
\[\frac{p\cdot V}{T}=\mathrm{konst.}\]
ugyanez két állapotra felírva:
\[\frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_2}{T_2}\]
Ezt hívjuk egyesített gáztörvénynek. Mivel a levezetésénél az állandó mennyiségű ideális gázokra érvényes speciális gáztörvényeket használtuk fel, ezért értelemszerűen ez is csak állandó mennyiségű ideális gázra igaz.
Az izobár+izoterm eset
Nézzük meg a másik eset levezetését is. Legyen most az első részfolyamatunk most is izobár, a második viszont ezúttal izoterm.
Az izobár folyamat gáztörvénye:
\[\frac{V}{T}=\mathrm{konst.}\]
Fejtsük ezt ki a jelöléseinkkel, ha a kezdeti állapot az 1-es, és a köztes állapotot $\mathrm{K}$ alsó index-szel jelöljük:
\[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_{\mathrm{K}}}{T_{\mathrm{K}}}\]
A második részfolyamatunk izoterm, aminek gáztörvénye:
\[p\cdot V=\mathrm{konst.}\]
Fejtsük ezt ki a jelöléseinkkel. Most a köztes állapot a kiinduló, a 2-es pedig a végső:
\[p_{\mathrm{K}}\cdot V_{\mathrm{K}}=p_2\cdot V_2\]
Mivel az első folyamat izobár, ezért a köztes állapoti $p_{\mathrm{K}}$ nyomás megegyezik a $p_1$ kezdeti nyomással:
\[p_{\mathrm{K}}=p_1\]
Mivel a második folyamatunk izoterm, ezért a köztes állapotbeli $T_{\mathrm{K}}$ hőmérséklet megegyezik a $T_2$ végső hőmérséklettel:
\[T_{\mathrm{K}}=T_2\]
Ezeket felhasználva a két egyenletünk ilyenre módosul:
\[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_{\mathrm{K}}}{T_2}\]
\[p_1\cdot V_{\mathrm{K}}=p_2\cdot V_2\]
Itt már csak egyetlen olyan tag van, ami a (számunkra érdektelen) köztes állapotot jellemzi: a $V_{\mathrm{K}}$ köztes állapoti térfogat. Fejezzük ki ezt a $V$ tagot mindkét egyenletből:
\[T_{\mathrm{K}}=\frac{V_1\cdot T_2}{T_1}\]
\[T_{\mathrm{K}}=\frac{p_2\cdot V_2}{p_1}\]
A fenti két egyenletben a bal oldalak megegyeznek, így a jobb oldalaknak is meg kell egyezniük:
\[\frac{V_1\cdot T_2}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_2}{p_1}\]
Rendezzük úgy ezt az egyenletet, hogy a bal oldalon az 1-es állapotot jellemző tagok legyenek, a jobb oldalon pedig a 2-es állapotot jellemző tagok:
\[\frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_2}{T_2}\]
Vagyis ugyanazt (az egyesített gáztörvénynek nevezett összefüggést) kaptuk meg:
\[\frac{p\cdot V}{T}=\mathrm{konst.}\]
Az izobár + izokór eset
A fentiekhez hasonlóan lehet kihozni az egyesített gáztörvényt, ha egy tetszőleges állapotváltozást két lépésben (egy izokór és egy izoterm folyamattal) hajtunk végre.
Hogyan tovább?
Ezen a ponton igencsak felmerülhet a kérdés, hogy a gáz paramétereiből összeálló
\[\frac{p\cdot V}{T}\]
kifejezés - ha már állandó - akkor vajon konkrétan mekkora, és a gáz tulajdonságai közül melyek és hogyan döntik el, hogy ez mekkora. Erről szól az ideális gáz állapotegyenlete, amihez az Avogadro-törvény-en keresztül vezetett el az út.