Mi a kapcsolat az elektromos mező egy pontjának térerőssége, potenciálja és egy ott lévő \(q\) próbatöltés potenciális energiája valamint a rá ható erő között? (A próbatöltés kicsiny töltéssel rendelkező test, melynek saját elekromos mezeje elhanyagolható ahhoz képest, amilyen elektromos mezőbe helyezzük.
1. Mozdulatlan \(q\) töltés esetén
Bevezetésképp nézzük azt az esetet, amikor a töltés nem is mozdul el! Az \(E\) térerősség nagysága mindig az erővonalak felületi sűrűségével azonos:
\[E=\frac{\Psi}{A_{\perp}}\]
ahol \(\Psi\) az elektromos fluxus (személetesen az "erővonalak száma"), melyek átdöfnek egy, az erővonalakra mindenütt merőleges \(A\) nagyságú felületet.
A \(q\) töltésre ható \(\vec{F}\) erő egy \(\vec{E}\) térerősségű helyen:
\[\vec{F}=\vec{E}\cdot q\]
A tér egy pontjának (például az \(\mathrm{A}\) pontnak) az \(U_{\mathrm{A}}\) potenciáljáról illetve az \(\mathrm{A}\) pontba helyezett \(q\) töltés \(V_{\mathrm{A}}\) potenciális energiájáról általánosságban nem tudunk sokat mondani, hiszen ezek egy referenciaponttól is függenek.
A \(V_{\mathrm{A}}\) potenciális energia definíciója: az erőtér által végzett munka, miközben a \(q\) töltés az \(\mathrm{A}\) pontból az önkényesen választott referenciapontba mozdul el:
\[V_{\mathrm{A}}=W_{A\to Ref}\]
(Gyakori, de hibás fogalmazás, hogy "miközben az erőtér hatására mozdul el". Könnyű belátni, hogy az erőtér által a töltésre kifejtett erő nem biztos, hogy olyan irányú, ami épp a végpont felé "vinné" a töltést, nem beszélve arról, hogy az elektriomos mező hatása a töltésre nem az arisztotelészi szemléletű "mozgatás", hanem a gyorsítás.)
Referenciapontként az elméleti fizikusok szemében a legalkalmasabb a végtelen távoli pont, ilyenkor a potencális energia:
\[V_{\mathrm{A}}=W_{\mathrm{A}\to \infty }\]
de a referenciapont ezen kívül lehet még a Föld kérge (ami elektromosan valamennyire vezető), vagy egy leföldelt fémtest stb.
A potenciál pedig az egységnyi töltés potenciális energiája, vagyis a munkavégzést leosztjuk a \(q\) töltéssel:
\[U_{\mathrm{A}}=\frac{V_{\mathrm{A}}}{q}\]
illetve
\[V_{\mathrm{A}}=Q\cdot U_{\mathrm{A}}\]
2. Homogén elektromos mezőben, az erővonalakkal párhuzamosan elmozduló \(q\) töltés esetén
Ez amiatt egyszerű eset, mert ha az elmozdulás párhuzamos az erővonalakkal, akkor a munka
\[W=F\cdot s_{\parallel }\]
kifejezésében az egész elmozdulás számít, vagyis "nem kell bajlódni", hogy az elmozdulásnak vajon mekkora az erő irányával párhuzamos (az erő irányába eső) összetevője, vagyis egyszerűen az elmozdulással számolható a munkavégzés. Az elmozdulást a mechanikában megszokott \(s\) helyett most jelöljük \(\vec{\ell}\) szimbólummal!
Tehát a munkavégzés egyszerűen számítható:
\[W_{\mathrm{A\to B}}=F\cdot \ell_{\parallel }\]
\[W_{\mathrm{A\to B}}=F\cdot \ell\]
3. Homogén elektromos mezőben, az erővonalakkal nem párhuzamosan elmozduló \(q\) tötés esetén
Ilyenkor annyi a bonyodalom, hogy először az \(\vec{\ell}\) elmozdulásnak venni kell az erővel (térerősséggel) párhuzamos \(\vec{\ell}_{\parallel }\) összetevőjét, és azzal kell számítani a munkavégzést:
Ekkor az összefüggések:
4. Általános esetben (inhomogén tér, tetszőleges görbe vonalú elmozdulás esetén)
Ez már egyetemi szint...
