A hidrosztatikai nyomás akkor lép fel fluidumokban (folyadékokban és gázokban), ha van nehézségi erő, de a fluidum a nehézségi erő hatására nem végez szabadesést. Legegyszerűbb és leggyakoribb eset, ha a Föld felszínén (a földi nehézségi erőtérben) vagyunk, és a fluidum nyugalomban van, például egy edény, tartály veszi körül. Szokás azt mondani, hogy a hidrosztatikai nyomás amiatt lép fel, mert az adott pont felett lévő fluidum minden atomját a nehézségi erő húzza lefelé, emiatt minden egyes atom "a súlyával ránehezedik" az alatta lévő részekre. Ez nagyjából igaz is, de egy ennyire pongyola megfogalmazás időnként furcsa, ellentmondásos helyzeteket teremt. Ha csak annyit nézünk, hogy "mekkora súlyú folyadék van felettünk, ami ránk nehezedik", ebből időnként ellentmondásos helyzetek adódnak.
Ehhez képzeljük el az alábbi, szokatlan alakú akváriumot, aminek alul van egy kis "beugrója" (ahová a több nyugalomra vágyó kishalak elbújhatnak)!
Vizsgáljuk meg a $P_1$ és a $P_2$ pontokat az edény alján! Tegyük fel a kérdést, hogy:
- Mennyi víz van a $P_1$ és a $P_2$ pont felett, ami ránehezedve hidrosztatikai nyomást okoz?
Azt látjuk, hogy különböző mennyiségű víz van felettük, mivel különböző magasságú vízoszlopok láthatók felettük. Mégis, az $P_1$ és $P_2$ pontokban a nyomás azonos. Ez egy látszólagos ellentmondás, amit hidrosztatikai paradoxonnak hívunk.
De mint a legtöbb paradoxonnak, ennek is van feloldása. A hidrosztatikai nyomás ugyanis nem attól függ, hogy a vizsgált pontunk felett, függőlegesen feltekintve található vízoszlopnak mennyi a magassága, hanem attól, hogy a nyugvó folyadék vízszintes szabad felszínétől mérve a függőleges tengely mentén mennyivel van lejjebb a vizsgált pontunk, azaz "milyen mélységben van" a vízfelszínhez képest. Márpedig az \(P_1\) és \(P_2\) pontok ugyanannyival vannak mélyebben a szabad vízfelszínhez képest, konkrétan\(h\)-val.
Ha lépésről-lépésre akarjuk tisztába tenni, akkor nézzük a vízben a $P_2$ pont felett a vízben lévő legmagasabb, $P_3$-vel jelölt pontot!
Ezen $P_3$ pont felett (első blikkre) egyáltalán nincs is víz, így felületesen szemlélve azt gondolhatnánk, hogy itt nem jelentkezik (a "felette lévő víz súlyából származó") hidrosztatikai nyomás. Csakhogy nyugvó folyadékban vízszintesen elmozdulva a nyomás mindenütt azonos, márpedig a $P_4$-ba innen vízszintes elmozdulással juthatunk le:
így a \(P_4\) pontban a nyomásnak meg kell egyeznie a vele azonos magasságban lévő \(P_3\) pont nyomásával. Ugyanakkor a \(P_4\) pont a folyadékfelszín alatt \(h_1\) mélységben van, így ott a víz súlyából származó hidrosztatikai nyomás biztosan:
\[p_{\mathrm{hidr}}=\varrho \cdot g\cdot h_1\]
(amihez még hozzájön a vízfelszínre ránehezedő légkör súlya miatt keletkező \(p_0\) légnyomás, vagyis a teljes nyomás \(p=p_{\mathrm{hidr}}+p_0\) értékű, de most mi csak a víz hidrosztatikai nyomásával foglalkozunk).
Tehát a \(P_3\) pontban is Ha a $P_3$ pontban is \(p_{\mathrm{hidr}}=\varrho \cdot g\cdot h_1\) hidrosztatikai nyomás van a víz miatt.
Mivel nyugvó folyadékban vízszintes irányban elmozdulva a nyomás mindenhol azonos, ezért a \(P_3\) pont mellett (vízszintes irányban) mindenhol ekkora nyomás uralkodik, ezért a \(P_3\) pont felett közvetlenül található (pirossal jelölt) \(A\) felületű vízszintes üveglapra a víz
\[F=\varrho \cdot g\cdot h_1\cdot A\]
nagyságú nyomóerőt fejt ki.
Méghozzá (furcsa módon) felfelé, hiszen fluidumban a nyomás minden irányban érvényesül, mindig az odahelyezett felületet nyomja merőlegesen (ennek oka, hogy a fluidumokban nincsenek érintő irányú, azaz nyíróerők). De Newton III. törvénye értelmében ezzel egyidejűleg a $P_3$ pont felett elhelyezkedő üveglap ugyanekkora, ellentétel irányú ellenerőt ((reakcióerőt) fejt ki a \(P_3\) pont körüli vízszintes vízfelületre. Vagyis bár a $P_3$ pont körüli vízfelület felett közvetlenül nincsen víz, mégis, felülről pont akkora lefelé irányuló nyomóerőt fejt ki rá az akvárium vízszintes üvegfala, mintha felette lenne \(h_1\) magas vízoszlop.
A hidrosztatikai paradoxont egyrészt úgy lehet bemutatni kísérlettel, hogy egy nyomásmérőt beledugunk a vízbe, a \(P_1\), majd \(P_2\) pontokba, és azt tapasztaljuk, hogy ugyanannyit mutat annak ellenére, hogy látszólag különböző magasságú víz van felettük. Vagy különböző alakú, szélességű, térfogatú edények aljába nyomásmérőt helyezünk, és azonos magasságig töltjük őket vízzel; ekkor a nyomásmérők azonos értéket mutatnak:
A Pascal-mérleg
A hidrosztatikai paradoxon másik bemutatási lehetősége, hogy az edény alján lévő nyomás miatt a febnéklapra ható nyomóerőt valahogyan láthatóvá tesszük, erre alkalmas az ún. Pascal-mérleg. Ehhez az kell, hogy a vizet tartalmazó edénynek ne legyen alja, hanem az edény alsó lapjának helyére pont beférjen, "becsusszanjon" egy mérleg serpenyője:
Persze a kivitelezés nmem könnyű, hiszen ha a beilleszkedő mérlegserpenyő kicsit is szorul, akkor a mérleg nem a víznyomás miatti erőt fogja mutatni, ha pedig nem elég passzentos, akkor meg kifolyik a víz, amitől a mérés során folyamatosan csökken a vízszint. Ha ugyanolyan aljú, de különféle tetejű edényekbe azonos magasságig töltünk vizet, akkor a mérleg (az edény alakjától, szélességétől függetlenül) mindig ugyanannyit mutat, pedig az egyes esetekben az edényben lévő víz súlya jelentősen eltér. A paradoxon feloldása a következő. A bal oldali esetben hogy a középső esetben a mérleg által a vízre kifejett tartóerőnek "besegít" az edény ferde fala által a vízre (a víznyomás reakcióerejeként) kifejtett nyomóerő függőlegesen felfelé ható komponense. Míg a jobb oldali esetben a kevés víz amiatt nyomja ugyanolyan nagy erővel a mérleget, mint a bal oldali esetben, mert itt pedig lefelé nyomja a ferde edény oldala által a vízre kifejtett nyomóerő a vizet, így "megnöveli" annak súlyát:
