A külső ellenállás (vagy más, a galvánelemre kapcsolt alkatrész, például fényforrás, villanymotor) elektromos teljesítménye számunkra hasznos teljesítménynek számít (\(P_{\mathrm{h}}\)), míg a belső ellenálláson fejlődő hőteljesítmény egyértelműen veszteség (\(P_{\mathrm{v}}\)). Vajon adott galvánelem esetén (adott \(U_0\) és \(R_{\mathrm{b}}\) esetén) mikor (mekkora \(R_{\mathrm{k}}\) külső ellenállás alkalmazáésa esetén) lesz a hasznos teljesítmény a legnagyobb? Írjuk fel a vizsgálandó hasznos teljesítményt:
\[P_{\mathrm{h}}=I^2\cdot R_{\mathrm{k}}\]
Gondoljunk bele, hogy ha az \(R_{\mathrm{k}}\) külső ellenállás nagyon kicsi, akkor nagy \(I\) áram fog folyni, vagyis egy kicsi és egy nagy szám szorzata lesz a hasznos teljesítmény. Ha pedig a külső ellenállás nagy, akkor meg az \(I\) áram lesz kicsi, megint csak egy kicsi és egy nagy számot szorzunk össze. Ez alapján nem tudjuk megállapítani, hogy milyen esetben lesz a hasznos teljesítmény a lehető legnagyobb.
Akkor mit tegyünk? Írjuk fel másképp a hasznos teljesítményt:
\[P_{\mathrm{h}}=U_{\mathrm{k}}\cdot I\]
Az \(I\) áramerősséget többféleképpen is kifejezhetjük az Ohm-törvény segítségével:
\[I=\frac{U}{R}\]
Ugyanis ezt felírhatjuk az egész áramkörre is, ahol a megtermelődő teljes \(U_0\) feszültség az összes ellenálláson, vagyis az \(R_{\mathrm{e}}\) eredő ellenálláson esik le:
\[I=\frac{U_0}{R_{\mathrm{e}}}\]
De felírhatjuk az \(R_{\mathrm{k}}\) külső ellenállásra is, amire az \(U_{\mathrm{k}}\) kapocsfeszültség jut:
\[I=\frac{U_{\mathrm{k}}}{R_{\mathrm{k}}}\]
De akár a galvánelem \(R_{\mathrm{b}}\) belső ellenállására is, amin az \(U_{\mathrm{b}}\) belső feszültségesés esik:
\[I=\frac{U_{\mathrm{b}}}{R_{\mathrm{b}}}\]
Tegyük ezt a legutóbbit, és arjuk be az új hasznos teljesítmény képletünkbe:
\[P_{\mathrm{h}}=U_{\mathrm{k}}\cdot I\]
\[P_{\mathrm{h}}=U_{\mathrm{k}}\cdot \frac{U_{\mathrm{b}}}{R_{\mathrm{b}}}\]
\[P_{\mathrm{h}}=U_{\mathrm{k}}\cdot {U_{\mathrm{b}}}\cdot \frac{1}{R_{\mathrm{b}}}\]
Ebben a kifejezésben az \(R_{\mathrm{b}}\) belső ellenállás (nem túl hosszú folyamat során) állandónak vehető. Vagyis a hasznos teljesítmény az \(U_{\mathrm{k}}\cdot {U_{\mathrm{b}}}\) szorzaton múlik. Mi a hasznos teljesítmény maximális értékét szeretnénk meghatározni; ehhez az eddigiek alapján a \(U_{\mathrm{k}}\cdot {U_{\mathrm{b}}}\) kifejezés maximumát kell megkeresnünk. Látszólag rosszul állunk, hiszen ha különféle \(R_{\mathrm{k}}\) terhelő ellenállásokat alkalmazunk, akkor mind az \(U_{\mathrm{k}}\), mind az \(U_{\mathrm{b}}\) változni fog. De ezek nem független változók! Hiszen ezek ketten a feszültségeséseket jelentik, vagyis ketten összesen ki kell adják az áramkörben lévő összes "feszültségemelkedést", tehát az \(U_0\) belső feszültséget:
\[U_0=U_{\mathrm{k}}+U_{\mathrm{b}}\]
Márpedig az \(U_0\) a gimnáziumi szintű galvánelem modellben állandó érték, tehát az \(U_{\mathrm{k}}\) és az \(U_{\mathrm{b}}\) csak olyan értékeket vehetnek fel, hogy az összegük mindvégig állandó.
\[U_0=U_{\mathrm{k}}+U_{\mathrm{b}}=\mathrm{konstans}\]
Mivel \(U_{\mathrm{k}}\) és \(U_{\mathrm{b}}\) szorzatának keressük a maximumát, és az ő összegükről tudjuk, hogy az állandó, ezért eszünkbe jut(hat) a matematikai tétel, miszerint nemnegatív valós számok mértani és számtani közepére fennáll, hogy:
\[\sqrt {a_1\cdot a_2}\le \frac{a_1+a_2}{2}\]
és az egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha a két szám azonos.
A mi esetünkben most ez így néz ki:
\[\sqrt {U_{\mathrm{k}}\cdot U_{\mathrm{b}}}\le \frac{U_{\mathrm{k}}+U_{\mathrm{b}}}{2}\]
És mivel
\[U_{\mathrm{k}}+U_{\mathrm{b}}=\mathrm{konstans}\]
ezért ennek a fele is konstans, vagyis:
\[\sqrt {U_{\mathrm{k}}\cdot U_{\mathrm{b}}}\le \frac{U_{\mathrm{k}}+U_{\mathrm{b}}}{2}=\mathrm{konstans}\]
Azt látjuk, hogy az egyenlőtlenség jobb oldala konstans, a bal oldala pedig kisebb vagy egyenlő nála, és a maximumát keressük. Ebből következik, hogy a bal oldal akkor lesz maximális, amikor a bal oldal egyenlő a jobb oldallal. Tehát az \(U_{\mathrm{k}}\cdot U_{\mathrm{b}}\) szorzat (amitől függ a hasznos teljesítmény) akkor maximális, amikor
\[U_{\mathrm{k}}=U_{\mathrm{b}}\]
Mivel a belső és a külső ellenálláson ugyanaz az \(I\) áram folyik át, ezért ha a rajtuk eső feszültség azonos, akkor az ellenállásoknak is azonosnak kell lenniük:
\[R_{\mathrm{b}}=R_{\mathrm{k}}\]
Azt kaptuk tehát, hogy a galvánelemre kapcsolt \(R_{\mathrm{k}}\) külső ellenállás teljesítménye akkor lesz a legnagyobb, ha az a galvánelem \(R_{\mathrm{b}}\) belső ellenállásával megegyező. Ezt hívjuk illesztésnek.
Ebben az esetben az \(\eta\) hatásfok, vagyis a hasznos teljesítmény aránya az összes teljesítményhez képest:
\[\eta=\frac{P_{\mathrm{h}}}{P_{\mathrm{ö}}}\]
\[\eta=\frac{I^2\cdot R_{\mathrm{k}}}{I^2\cdot \left(R_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{k}}\right)}\]
\[\eta=\frac{R_{\mathrm{k}}}{R_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{k}}}\]
ami az imént kapott \(R_{\mathrm{b}}=R_{\mathrm{k}}\) miatt
\[\eta=\frac{R_{\mathrm{k}}}{2R_{\mathrm{k}}}\]
\[\eta=\frac{1}{2}=50\%\]
Ugyanez a probléma deriválással levezetve
\[I=\frac{U_0}{R_{\mathrm{e}}}\]
\[I=\frac{U_0}{R_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{k}}}\]
Írjuk ezt be a hasznos teljesítmény kifejezésébe:
\[P_{\mathrm{h}}=I^2\cdot R_{\mathrm{k}}\]
\[P_{\mathrm{h}}=\frac{{U_0}^2}{{\left(R_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{k}}\right)}^2}\cdot R_{\mathrm{k}}\]
\[P_{\mathrm{h}}={U_0}^2\cdot \frac{R_{\mathrm{k}}}{{\left(R_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{k}}\right)}^2}\]
A kérdésünk az, hogy adott \(U_0\) és \(R_{\mathrm{b}}\) esetén mekkora \(R_{\mathrm{k}}\) esetén lesz ez a kifejezés maximális. Ehhez az ellenállásokat tartalmazó törtnek kell a maximumát megkeresnünk. Bevetünk egy gyakori trükköt: az egyik paramétert az egyszerűség kedvéért 1-nek választjuk. Miért tehetjük ezt meg? Mert kereshetnénk olyan mértékegységet, amiben mérve az a tag pont egységnyi. Gondoljunk arra, mint amikor 1,609 km-es távolságunk van, akkor mondhatjuk, hogy térjünk át mérföldre, mert abban mérve ez a távolság pont 1 mérföld. Válasszuk a fix \(R_{\mathrm{b}}\) értékét 1-nek:
\[P_{\mathrm{h}}={U_0}^2\cdot \frac{R_{\mathrm{k}}}{{\left(1+R_{\mathrm{k}}\right)}^2}\]
Mivel az \(U_0\) belső feszültség állandó, ezért a kifejezés akkor veszi fel a maximumát, ha a
\[\frac{R_{\mathrm{k}}}{{\left(1+R_{\mathrm{k}}\right)}^2}\]
kifejezés maximális.
Könnyebb a szemünknek, ha a függvényváltozónk jele nem \(R_{\mathrm{k}}\), hanem inkább a jól megszokott \(x\), tehát keressük az
\[f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\]
függvény maximumát. Szélsőérték (akár minimum, akár maximum) ott lehet, ahol az első derivált nulla, ezért lederiváljuk a függvényt:
Alkalmazzuk a hányados függvény deriválási szabályát:
\[{\left(\frac{f}{g}\right)}'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{1\cdot {\left(1+x\right)}^2-x\cdot 2\cdot \left(1+x\right)}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{1+2x+x^2-2x-2x^2}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{1-x^2}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{\left(1+x\right)\cdot \left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}\]
A deriváltnak a szélsőértékben nullának kell lennie:
\[\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}=0\]
Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla:
\[1-x=0\]
\[x=1\]
Az $x$ jelölést az $R_{\mathrm{k}}$ helyett vezettük be, tehát
\[R_{\mathrm{k}}=1\]
de már korábban úgy választottunk mértékegységet, hogy
\[R_{\mathrm{b}}=1\]
teljesüljön. Vagyis azt kaptuk, hogy
\[R_{\mathrm{b}}=R_{\mathrm{k}}\]
esetén lehet szélsőérték. Ha ez tényleg maximum, akkor a második derivált negatív kell legyen ezen az imént kapott $x=1$ helyen. Hogy erről meggyőződjünk, állítsuk elő a második deriváltat is:
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}''={\left(\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}\right)}'\]
Ezt megint a hányados függvény deriválási szabályával tudjuk elvégezni:
\[{\left(\frac{f}{g}\right)}'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\]
\[{\left(\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}\right)}'=\frac{-1\cdot {\left(1+x\right)}^3-\left(1-x\right)\cdot 3\cdot \left(1+x\right)}{{\left(1+x\right)}^6}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}^{''}=\frac{-1\cdot \left(1+3x+3x^2+x^3\right)-3\cdot \left(1-x^2\right)}{{\left(1+x\right)}^6}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}^{''}=\frac{-1-3x-3x^2-x^3-3+3x^2}{{\left(1+x\right)}^6}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}^{''}=\frac{-x^3-3x-4}{{\left(1+x\right)}^6}\]
Ezt kell megnézni az $x=1$ helyen:
\[\frac{-x^3-3x-4}{{\left(1+x\right)}^6}=\frac{-1^3-3-4}{{\left(1+1\right)}^6}=\frac{-8}{64}=-\frac{1}{8}\]
Ami tényleg negatív, úgyhogy a szélsőérték valóban lokális maximumhely.