Felületi hőtágulás
Képzeljünk el egy téglalap alakú fémlemezt, melynek élei \(a_0\) és \(b_0\):
Ennek területe:
\[T=a_0\cdot b_0\]
Növeljük meg a lemez hőmérsékletét \(\Delta T\)-vel! A lemez élei megnagyobbodnak \(\Delta a\) illetve \(\Delta b\) értékkel:
A lineáris hőtágulási törvény szerint egy hosszmenti méret megváltozása:
\[\Delta l=\alpha\cdot l_0\cdot \Delta T\]
Ezt alkalmazva a téglalap oldalaira:
\[\Delta a=\alpha\cdot a_0\cdot \Delta T\]
\[\Delta b=\alpha\cdot b_0\cdot \Delta T\]
Ezek alapján az új élhosszok:
\[a_1=a_0+\Delta a\]
\[a_1=a_0+\alpha\cdot a_0\cdot \Delta T\]
\[a_1=a_0\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\]
A másik oldal ugyanígy:
\[b_1=b_0+\Delta b\]
\[b_1=b_0+\alpha\cdot b_0\cdot \Delta T\]
\[b_1=b_0\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\]
Az új terület:
\[T_1=a_1\cdot b_1\]
\[T_1=a_0\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\cdot b_0\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\]
\[T_1=a_0\cdot b_0\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\]
\[T_1=T_0\cdot {\left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)}^2\]
\[T_1=T_0\cdot \left(1+2\cdot \alpha\cdot \Delta T+\alpha^2\cdot \left(\Delta T\right)^2\right)\]
Nézzük, hogy tipikusan mekkora nagyságrendűek az alkalmazásokban a kifejezésben szereplő tagok! A fémek \(\alpha\) lineáris hőtágulási együtthatója:
\[\alpha\approx 10^{-5}\]
A hőmérsékletváltozás jellemzően néhányszor \(10\ \mathrm{^\circ C}\) vagy néhányszor \(100\ \mathrm{^\circ C}\), vagyis nagyságrendileg:
\[\Delta T\approx 10^2\]
Ezek alapján a zárójel második és harmadik tagja nagyságrendileg:
\[2\cdot \alpha\cdot \Delta T\approx 10^{-5}\cdot 10^2=10^{-3}\]
\[{\alpha }^2\cdot {\left(\Delta T\right)}^2\approx {\left(10^{-5}\right)}^2\cdot {\left(10^2\right)}^2=10^{-10}\cdot 10^4=10^{-6}\]
Vagyis a zárójel második tagja (\(2\cdot \alpha\cdot \Delta T\)) az első tagnál (\(1\)) ugyan ezerszer kisebb (jelezvén, hogy a fémek hőtágulása kicsi effektus), de a harmadik tag még nála is ezerszer kisebb. Emiatt nyugodtan elhanyagolhatjuk. Vagyis jó közelítéssel (kb. csupán egy ezreléknyi hibát vétve) azt mondhatjuk, hogy a téglalap új területe:
\[T_1=T_0\cdot \left(1+2\cdot \alpha\cdot \Delta T\right)\]
A kapott összefüggés igen hasonló a lineáris hőzágulási törvényre:
\[l_1=l_0+\alpha \cdot l_0\cdot \Delta T\]
\[l_1=l_0\cdot \left(1+\alpha\cdot \Delta T\right)\]
A különbség mindössze annyi, hogy a területváltozás szempontjából a hőtágulási együttható 2-szer akkora, mint a hosszváltozás esetén. Emiatt nem is lehet táblázatokban olyat találni, hogy "felületi hőtágulási együttható", hiszen az nagyon jó közelítéssel 2-szerese a lineáris hőtágulási együtthatónak.
Lyukfúráskor a súrlódási erő munkavégzése hőt fejleszt, ami a fúrószárat és a lemezt is felmelegíti. Ha a fúrószár és a fúrandó lemez hőtágulási együtthatója nem azonos, akkor a visszahűléskor nem azonos lesz a fúrószár és a lyuk átmérője. Vagyis precíziós fúrás esetén be kell kalkulálni, hogy a fúrás magasabb hőmérsékleten zajlik, ahol a fúrószár valamivel nagyobb átmérőjű, de a lemez (és a belé fúrt lyuk) a kihűlés során nem ugyanannyit fog összehúzódni, mint a fúrószár.
Térfogati hőtágulás
Ehhez teljesen hasonlóan továbbléphetünk a 2 dimenzióból 3 dimenzióba: a téglalap után megnézhetjük egy téglatest hőtágulását, pontosabban hogy annak térfogata hogyan változik. A levezetés eredményeként azt kapjuk, hogy egy kezdetben \(V_0\) térfogatú téglatest \(\Delta T\) hőmérséklet-változás hatására közelítőleg
\[V_1=V_0\cdot \left(1+3\cdot \alpha\cdot \Delta T\right)\]
térfogatú lesz.
Az itt szereplő \(3\alpha\) szorzótényezőre bevezetjük a \(\beta\) betűt, és
\[\beta=3\alpha\]
definícióval elnevezzük térfogati hőtágulási együtthatónak.