Mit jelent a párhuzamos kapcsolás?
Hogyan alakul a feszültség az egyes ágakban?
Mi történik az árammal az elágazásnál?
Mekkora az eredő ellenállása 2 db párhuzamosan kapcsolt ohmikus ellenállásnak?
\[\frac{1}{R_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\]
Rendezzük ezt ki az \(R_{\mathrm{e}}\) eredő ellenállásra. Ehhez hozzuk közös nevezőre a jobb oldali törteket:
\[\frac{1}{R_{\mathrm{e}}}=\frac{R_2}{R_1\cdot R_2}+\frac{R_1}{R_1\cdot R_2}\]
\[\frac{1}{R_{\mathrm{e}}}=\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}\]
Mindkét oldal reciprokát véve:
\[R_{\mathrm{e}}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\]
A jobb oldalon álló múveleteket szokás "replusz" néven nevezni (főleg a mérnökök szeretik ezt a terminust), vagyis amikor két szám szorzatát eloszjuk a két szám összegével.
Mekkora az eredő ellenállása sok párhuzamosan kapcsolt alaktrésznek?
Párhuzamos kapcsolásnál mindig kisebb az eredő ellenállás, mint bármelyik alkatrész ellenállása?
Erre van egy fizikai meggondolásos, szemléletes válasz, és egy matekos is.
A feszültség mindig elektromos mezőt jelent, ami erőt fejt ki a töltésekre. A töltések közül a mozgatható töltéseket (például a fémekben a delokalizált, szabad elektronokat) az elektromos mező el is kezdi gyorsítnai, de az anyag, amiben a haladnak, rengeteg atomtörzsből áll, amiknek nekiütközve a vezetési elektronok energiát veszítenek, vagyis ez közegellenállást jelent számukra. Párhuzamos kapcsolásnál az elektromos mező több csatornán keresztül, több ágon át hajthatja a mozgóképes töltéseket, ezért "könnyebb" áthajtania a párhuzamosan kapcsolt alkatrészeken, mint külön-külön bármelyiken.
Akit ez nem győzött meg, annak belátjuk matematikai úton is két alkatrész esetében. Induljunk ki az eredő ellenállás képletéből:
\[R_{\mathrm{e}}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\]
Sajnos mindkét ellenállásunk ismeretlen, és ez megnehezíti, hogy tisztán lássuk, vajon a jobb oldali kifejezés mindig kisebb-e \(R_1\)-nél is és \(R_2\)-nél is.
Úgyhogy vessünk be egy ilyenkor szokásos trükköt: válasszuk olyan mértékegységrendszert (ennek semmi akadálya), amiben az egyik ellenállás, például az \(R_2\) éppen egységnyi értékű! Ez azt jelenti, hogy ha mondjuk \(R_2=3,78\ \Omega\), akkor az új ellenállásegység, amit mondjuk \(\omega\) szimbólummal jelölünk, éppen ekkora:
\[1\ \omega=3,78\ \Omega\]
Ez azért jó, mert így az \(R_{\mathrm{e}}\) eredő ellenállásra az imént kapott kifejezésünk egyszerűbb lesz, hiszen \(R_1=1\)-t behelyettesítve:
\[R_{\mathrm{e}}=\frac{1\cdot R_2}{1+R_2}\]
\[R_{\mathrm{e}}=\frac{R_2}{1+R_2}\]
Mi azt szeretnénk belátni, hogy az eredő ellenállás kisebb \(R_1\)-nél is és \(R_2\)-nél is, vagyis most már, mivel \(R_1=1\), ezért hogy
\[\frac{R_2}{1+R_2}<1\ \ \ \left(?\right)\]
\[\frac{R_2}{1+R_2}\]
A továbbiakban szorítkozzunk pozitív számokra, hiszen az ohmikus ellenállás mindig pozitív értékű (nem kell a negatív értékű \(R_2\) eseteket is meggondolni, hisz azoknak nincs fizikai jelentése).
Az első egyenlőtlenségről egyből látható, hogy igaz, hiszen a bal oldalon az \(R_2\) el van osztva egy nála biztosan nagyobb számmal (hiszen az \(1+R_2\) biztosan nagyobb, mint az \(R_2\)). Márpedig ha a nevező nagyobb, mint a számláló, akkor a tört értéke egynél kisebb.
A második egyenlőtlenségen is látszik, hogy teljesül, hiszen amikor egy számot (mint itt most az \(R_2\)-t) elosztunk egy nála nagyobb számmal (itt az \(1+R_2\)-vel), akkor mindig az eredtinél kisebbet kapunk (pozitív számokra szorítkoza). Tehát (két tagú esetre) beláttuk, hogy párhuzamos kapcsolásnál az eredő ellenállás mindig kisebb lesz, mint a párhuzamosan kapcsolt alkatrészek bármelyike. QED