Nézzünk egy egyszerű esetet: egy \(m\) tömegű, kezdetben álló \((v_0=0)\) testre állandó \(F\) erő hat \(\Delta t\) időn át. Ennek hatására a testnek
\[F=m\cdot a\]
alapján
\[a=\frac{F}{m}\]
gyorsulása lesz. Mivel az \(F\) erő is és az \(m\) tömeg is állandó, ezért a test \(a\) gyorsulása is állandó lesz. Vagyis a folyamat alatt a test sebesség-idő grafikonja egy origón átmenő egyenes szakasz lesz:
A \(\Delta t\) ideig tartó folyamat végére a test \(v_1\) sebességet ér el, és közben \(s\) utat tesz meg, ami egyben az elmozdulása is.
Írjuk fel a testre ható \(F\) erő munkáját:
\[W=F\cdot s_{\parallel}\]
Mivel a test kezdetben áll, és rá egyedül az \(F\) erő hat, ezért a test elmozdulása mindvégig azonos irányú lesz az \( F\) erővel, tehát a teljes \(s\) útja párhuzamos az \(F\) erővel, így a munkavégzés egyszerűen:
\[W=F\cdot s\]
Ennek az egyenletnek a jobb oldalában helyettesítsük mindkét szorzótényezőt más kifejezéssel! Egyrészt az \(F\) erő helyére, hogy az
\[F=m\cdot a\]
\[F=m\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
és mivel
\[\Delta v=v_1-v_0=v_1\]
ezért
\[F=m\cdot \frac{v_1}{\Delta t}\]
Az \(s\) utat pedig a grafikon alapján, a függvény görbéje alatti terület alapján, a háromszög területképletével, miszerint "alap szorozva a hozzá tartozó magasság, per kettő":
\[s=T_{\triangle}=\frac{a\cdot m_a}{2}\]
Konkrétan itt most:
\[s=\frac{\Delta t\cdot v_1}{2}\]
Mindkét dolgot beírva a munka képletébe:
\[W=F\cdot s\]
\[W=m\cdot \frac{v_1}{\Delta t}\cdot \frac{\Delta t\cdot v_1}{2}\]
A \(\Delta t\)-vel egyszerűsítve a következő eredményre jutunk:
\[W=\frac{1}{2}mv_1^2\]
Azt kaptuk tehát, hogy az \(F\) erő munkavégzése egyenlő a fenti (a test tömegéből és sebességéből képzett) kifejezéssel, ami valami olyasmit mutat, amire a test a munkavégzés eredményeképp "szert tett". Ezt a mennyiséget mozgási (kinetikus) energiának hívjuk:
\[E_{\mathrm{mozg}}=E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2\]
Vegyük észre, hogy a mozgási energia eléggé hasonlít a lendülethez, hiszen a test ugyanazon tulajdonságaiból (a tömegből és a sebessségből) áll össze, csak ebben a sebesség a tömegnél "erősebben számít", mivel a négyzetre van emelve. Anno Newton és Leibnitz között nagy vita volt, hogy a testet dinamikai szempontból a Newton által javasolt
\[I=m\cdot v\]
lendülettel kellene-e jellemezni, vagy inkább a Leibnitz által javasolt
\[m\cdot v^2\]
kifejezéssel, amit akkoriban "vis viva" azaz eleven erő névvel láttak el. Végül a newtoni lendület is megmaradt, a leibnitzi eleven erőből pedig (egy 2-vel való osztásnyi módosítás után) megszületett a mozgási energia.
A munkatétel
Ha a test sebessége kezdetben nem nulla, hanem tetszőleges \(v_0\) értékű, akkor a testre ható \(F\) gyorsító erő munkája:
\[W=F\cdot s_{\parallel}\]
\[W=(m\cdot a)\cdot(v_{\mathrm{átl}}\cdot \Delta t)\]
Az átlagsebesség egyenletesen változó mozgásnál a kezdeti- és a végsebesség számtani közepe:
\[W=\left(m\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}\right)\cdot\left(\frac{v_1+v_0}{2}\cdot \Delta t\right)\]
\[W=m\cdot \frac{v_1-v_0}{\Delta t}\cdot \frac{v_1+v_0}{2}\cdot \Delta t\]
\[W=m\cdot \frac{v_1^2-v_0^2}{2}\]
\[W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2\]
Illetve mindez a mozgási energia segítségével felírva:
\[W=\Delta E^{\mathrm{mozg}}\]
Ezt az egyenletet munkatételnek hívjuk. Lényege, hogy ha a testre hat egy erő, és ahol az kifejti hatását, ott a test elmozdul, akkor az erőnek van munkavégzése, ami megváltoztatja a test mozgási energiáját. Vagyis a munkavégzés, mint energiatranszport esetében sem vész el az energia, hanem átadódik egyik testről a másikra. A munka lehet negatív is, ilyankor az \(F\) erőt kifejtő "külső" test elvesz energiát az általunk vizsgált testtől, csökkenti annak mozgási energiáját.
Fontos észrevétel, hogy egy erőnek időbeli és térbeli hatása is van. Az időbeli hatása az, hogy megváltoztatja a test lendületét, míg a térbeli hatása (az elmozduló testre kifejtett hatása) az, hogy megváltoztatja annak mozgási energiáját. Természetesen ha egy erőnek nincs munkája, például mert
- a test nem mozdul el (az erő támadáspontjában)
- az erő mindig merőleges az elmozdulásra (például mágneses Lorentz-erő, vagy egy égitest körül körpályán keringő objektumra ható gravitációs vonzóerő)
olyankor az \(F\) erő nem változtatja meg a test mozgási energiáját a munkatétel alapján a munkavégzése nulla).