Rajzoljuk be a ládára ható erőket:
Mivel az általunk vizsgált láda gyorsulása megint vízszintes irányú, ezért csábítónak tűnhet a gondolat, hogy bontsuk fel az erőket vízszintes és függőleges összetevőkre, hiszen így a gyorsulásunkat nem kell felbontani:
Írjuk fel a mozgásegyenletet a vízszintes (x) irányra:
$$\Sigma F_x=m\cdot a_x$$
$$F_{ny}\cdot {\sin α\ }-F_t\cdot {\cos α\ }=m\cdot a$$
A gyorsulásunk egyelőre csak az $F_{ny}$ nyomóerő és az $F_t$ tapadási erő függvényében van meg. Írjuk fel a függőlege (y) irányba is a mozgásegyenletet:
$$\Sigma F_y=m\cdot a_y$$
$$F_{ny}\cdot {\cos α\ }+F_t\cdot {\sin α\ }-m\cdot g=0$$
Most úgy állunk, hogy van 2 egyenletünk, de még 3 ismeretlen: $a$, $F_{ny}$ és $F_t$.
Azonban a tapadási erő és a nyomóerő összefüggenek, a tapadási erő nagysága nem lehet nagyobb egy értéknél:
$$-μ_t\cdot F_{ny}\le F_t\le μ_t\cdot F_{ny}$$
A kapott egyenletrendszer bonyolult, és ennek az az oka, hogy mindkét ismeretlen erő (az $F_{ny}$ nyomóerő és az $F_t$ tapadási erő) szorozva van ${\sin α\ }$ illetve ${\cos α\ }$ tényezőkkel.
A problémából a kiutat az jelenti, hogy inkább lejtő irányú (lejtővel párhuzamos, azaz $\parallel $) és lejtőre merőleges (azaz $\bot $) tengelyekkel rendelkező koordinátarendszert alkalmazunk, és így bontjuk fel az erőket valamint a gyorsulást:
Írjuk fel a mozgásegyenletet a lejtővel párhuzamos irányra!
$$\Sigma F_{\parallel }=m\cdot a_{\parallel }$$
$$m\cdot g\cdot {\sin α\ }-F_t=m\cdot a\cdot {\cos α\ }$$
Ebből rendezzük ki a tapadási erőt:
$$F_t=m\cdot a\cdot {\cos α\ }+m\cdot g\cdot {\sin α\ }$$
Írjuk fel a mozgásegyenletet a lejtőre merőleges irányra is:
$$\Sigma F_{\bot }=m\cdot a_{\bot }$$
$$F_{ny}-m\cdot g\cdot {\cos α\ }=m\cdot a\cdot {\sin α\ }$$
$$F_{ny}=m\cdot a\cdot {\sin α\ }+m\cdot g\cdot {\cos α\ }$$
Ezeket már csak be kell helyettesítenünk a tapadási erő és a nyomóerő összefüggésébe:
$$-μ_t\cdot F_{ny}\le F_t\le μ_t\cdot F_{ny}$$
Nézzük külön, először a bal, aztán a jobb részét:
$$-μ_t\cdot F_{ny}\le F_t$$
$$-μ_t\cdot \left(m\cdot a\cdot {\sin α\ }+m\cdot g\cdot {\cos α\ }\right)\le m\cdot a\cdot {\cos α\ }+m\cdot g\cdot {\sin α\ }$$
$$-μ_t\cdot \left(a\cdot {\sin α\ }+g\cdot {\cos α\ }\right)\le a\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }$$
$$-μ_t\cdot a\cdot {\sin α\ }-μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }\le a\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }$$
$$-μ_t\cdot a\cdot {\sin α\ }-a\cdot {\cos α\ }\le μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }$$
$$μ_t\cdot a\cdot {\sin α\ }+a\cdot {\cos α\ }\ge μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }+g\cdot {{\rm s}{\rm in} α\ }$$
$$a\cdot \left(μ_t\cdot {\sin α\ }+{\cos α\ }\right)\ge μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }$$
$$a\ge {{μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }}\over {μ_t\cdot {\sin α\ }+{\cos α\ }}}$$
$$F_t\le μ_t\cdot F_{ny}$$
$$m\cdot a\cdot {\cos α\ }+m\cdot g\cdot {\sin α\ }\le μ_t\cdot \left(m\cdot a\cdot {\sin α\ }+m\cdot g\cdot {\cos α\ }\right)$$
$$a\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }\le μ_t\cdot \left(a\cdot {\sin α\ }+g\cdot {\cos α\ }\right)$$
$$a\cdot {\cos α\ }+g\cdot {\sin α\ }\le μ_t\cdot a\cdot {\sin α\ }+μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }$$
$$a\cdot {\cos α\ }-μ_t\cdot a\cdot {\sin α\ }\le μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }-g\cdot {\sin α\ }$$
$$a\cdot \left({\cos α\ }-μ_t\cdot {\sin α\ }\right)\le μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }-g\cdot {\sin α\ }$$
$$a\le {{μ_t\cdot g\cdot {\cos α\ }-g\cdot {\sin α\ }}\over {{\cos α\ }-μ_t\cdot {\sin α\ }}}$$
Az utolsó lépésben osztottunk a ${\cos α\ }-μ_t\cdot {\sin α\ }$ kifejezéssel. Amennyiben ennek értéke (az adatoktól függően) negatív, akkor a relációjel megfordul.