Szokás feltenni a kérdést, hogy "Mi a különbség a \(Q\) hő (hőmennyiség, hőközlés) és az \(U\) belső energia között?". Erre pedig azt szokás mondani, hogy hát a \(Q\) egy folyamatot jellemez, míg az \(U\) belső energia egy állapotot. Vagyis olyan gyökeresen különböznek, hogy a kérdésnek nincs is sok értelme. De nézzük csak meg, pontosan hogyan is fordulnak elő ők a hőtan I. főtételében!
\[\Delta U=Q^{\mathrm{R-rel}}+W^{\mathrm{R-en}}\]
ahol a \(Q^{\mathrm{R-rel}}\) hőközlés a rendszerrel közölt hőt jelenti, a \(W^{\mathrm{R-en}}\) munkavégzés pedig a rendszeren végzett munkát.
Most észre vettük, hogy az I. főtételben nem is a belső energia szerepel, hanem annak megváltozása. Szóval inkább úgy érdemes feltenni a kérdést, hogy "Mi a különbség a \(Q\) hőközlés és a \(\Delta U\) belsőenergia-változás között?", hiszen ezek már mindketten egy folyamatot jellemeznek.
Talán valami rendezett-rendeztlen téma a megoldás? Nem, hiszen a hőközlés is rendezetlen energiatranszport, és a belső energia is a rendszer sok kis apró részecskéjének rendezetlen energiatagjaiból áll össze.
A nagy különbség abból adódik, hogy egy rendszer adott állapotában a belső energia egyértelműen meghatározott, azaz a rendszer független állapotjelzőinek egyértelmű függvénye (mint amilyenek az ideális gázoknál például a nyomás, hőmérséklet és az anyagmennyiság). Ezt matetamikai formában így szokás megjeleníteni:
\[U=U(p, V, n)\]
Ezért aztán két adott állapot között zajló folyamatban a belsőenergia-változás is egyértelmű (a kezdő- és vágállapot ugyanis egyértelműen meghatározza a \(\Delta U\)-t). Ezzel szemben attól, mert számunkra adott a kezdő- és végállapot, a \(Q\) hőközlés még nem lesz meghatározott, hiszen a kezdőállapotból sokféle úton (különböző állapotok sorozatán keresztül) juthatunk el a végállapotba. A hőközlés tehát "függ a két állapot közötti úttól", azaz attól, hogy a sok lehetséges oda vezető folyamat közül melyiken keresztül jutottunk el a végállapotba.
Emiatt az egyetemen a hőtan I. főtételét, amikor már nem véges kicsi változásokkal írják fel (ahogy középiskolában), hanem ún. differenciális alakban, vagyis végtelenül kis változásokkal, akkor ott így néz ki:
\[dU=\delta Q+\delta W\]
vagyis a hőközléshez hasonlóan a munkavégzés is "útfüggő".
A munka esetében mindezt könnyű \(p\thinspace \unicode{x2013}\thinspace V\) diagramon szemléltetni, hiszen ott a folyamat görbéje alatti terület a munka, ami látványosan tud függeni a kezdő- és végállapotot összekötő "úttól".
A fenti, \(d\)-vel illetve \(\delta\)-val jelölt különbözőséget úgy is szokás mondani, hogy a \(dU\) teljes differenciál (mert hogy egyértelműen előállítható az állapotjelzők megváltozásaiból), míg a \(\delta Q\) és a \(\delta W\) nem teljes differenciálok.