Az ejtőernyősugrás során az ember egy kis időre a szabadság egy elég magas fokát élheti át. Luke Aikins 2016 nyarán 42 éves korára már túl volt kb. 18 ezer ejtőernyős ugráson, ezért számára már az ejtőernyősugrás kevés korlátja is soknak tűnt, így elhatározta, hogy egyszer végre ejtőernyő nélkül is kiugrik. A napsütötte Kaliforniában \(25\ 000\ \mathrm{l}\)á\(\mathrm{b}\ (7620\ \mathrm{m}\)é\(\mathrm{ter}\)) magasra vitte fel egy légcsavaros kisrepülőgép (a szokványos ugrási magasság 3‑4 km). A zuhanása első szakaszán a magaslati, ritka légkörben a lélegzéshez még oxigénpalackot kellett használnia, amit \(15\ 000\ \mathrm{l}\)á\(\mathrm{b}\) magasságban leadott az egyik ejtőernyős kísérőjének. Legnehezebb és legveszélyesebb feladata az volt, hogy a 200 láb (61 méter) magasban 4 daruval kifeszített 100 láb (30 méter) oldalhosszúságú, négyzet alakú vízszintes hálóba sikerüljön beleirányítania magát. Zuhanása elején a nagy magasság miatti ritkább légkörben még \(150\ \mathrm{mph\ (mile\ per\ hour;\ 1\ mile=1,609\ km})\) sebességig gyorsult, míg a hálóba csapódáskor, a légkör legalsó, legsűrűbb részében már "csak" \(120\ \mathrm{mph}\) volt a sebessége. A rugalmas háló 1,5 másodperc alatt állította meg teljesen. Az ugarásról videó is készült.
a) Mekkora nagyságú átlagos gyorsulást szenvedett el a hálóban lelassulás során?
$a=-35,75\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s^2}}}$
Induljunk ki a gyorsulás definíciójából:
$$a={{\Delta v}\over {\Delta t}}$$
A $\Delta v$ sebességváltozás (mint minden változás mindig) a végső és a kezdeti érték különbsége:
$$a={{v_2-v_1}\over {\Delta t}}$$
Végső sebesség nulla, míg a kezdeti 120 mph. Váltsuk ezt át \(\displaystyle \ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-ba:
$$120\ \mathrm{{{mile}\over {h}}}=120\cdot {{1609\ \mathrm{m}}\over {3600\ \mathrm{sec}}}=53,62\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$
Csupán érdekességből (a feladat megoldásához ugyanis nem szükséges) nézzék meg, ez hány \(\displaystyle \ \mathrm{\frac{km}{h}}\):
$$53,62\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 3,6\ \mathrm{{{\displaystyle {{km}\over {h}}}\over {\displaystyle {{m}\over {s}}}}}=193,08\ \mathrm{{{km}\over {h}}}$$
A kapott sebességet, valamint az ismert eltelt időt írjuk be a gyorsulás képletébe:
$$a={{0\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}-53,62\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}}\over {1,5\ \mathrm{s}}}$$
$$a=-35,75\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}$$
A becsapódáskor elszenvedett átlagos gyorsulás tehát a $g=10\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s^2}}}$ nagyságú nehézségi gyorsulásnak kb. 3,5-szöröse.
b) Mekkora úton állította meg a háló? (Az egész lassítási folyamatot vegyük egyenletesen változónak!)
$s=40,2\ \mathrm{m}$
A folyamatban kezdősebességről nulla sebességre lassulás van. De ennek során a megtett út pont akkora, mintha az emberünk álló helyzetből gyorsult volna fel az adott sebességre, ha ugyanannyi idő alatt, ugyanakkora gyorsulással teszi. Hiszen a \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) diagramon a két folyamat görbe alatti területe (ami a megtett út) ugyanakkora háromszög, hiszen a két háromszög egybevágó. Emiatt használhatjuk a kezdősebesség nélküli négyzetes úttörvényt:
$$s={{1}\over {2}}a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2$$
$$s={{1}\over {2}}\cdot 35,75\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot {\left(1,5\ \mathrm{s}\right)}^2$$
$$s=40,2\ \mathrm{m}$$