a)  Mekkora sebességgel lövi ki a csúzli a csapággyolyót?

\(v_0=50\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)

Miután a csapágygolyó a felső holtpontjára felért, lefelé jövet egy kezdősebesség nélküli gyorsuló mozgást végez, és a kiindulási helyre visszaérkezéskor a kezdeti sebességét éri el újra (ennek bizonyítását lásd a 7158-as feladatban). Ezért a kezdősebességet úgy is kiszámolhatjuk, hogy a lefelé jövő szakaszt nézzük. Ez amiatt egyszerűbb, mert kezdősebesség nélküli kozgás. Az úttörvénye:

\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

illetve mivel a gyorsulás a \(g\) nehézségi gyorsulás:

\[s=\frac{1}{2}\cdot g\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Tudjuk, hogy

\[s=125\ \mathrm{m}\]

utat tett meg, és a nehézségi gyorsulás értékét is ismerjük

\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Beírva az adatokat:

\[s=\frac{1}{2}\cdot g\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[125\ \mathrm{m}=\frac{1}{2}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Mivel minden SI egységben van, a mértékegységeket elhagyhatjuk:

\[125=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[125=5\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[25={\left(\Delta t\right)}^2\]

\[\Delta t=5\ \mathrm{s}\]

Az, hogy a nehézségi gyorsulás értéke

\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

azt jelenti, hogy másodpercenként \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal változik a sebesség. Tehát 5 másodperc alatt \(50\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)‑mal.

Vagy ugyanezt képlettel is kiszámolhatjuk, ha felírjuk a sebességfüggést a lefelé szakaszra. A lenti sebességet \(v_0\)‑lal jelölve:

\[v_0=a\cdot \left(\Delta t\right)\]

\[v_0=g\cdot \left(\Delta t\right)\]

\[v_0=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 5\ \mathrm{s}\]

\[v_0=50\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

b)  Mennyi idő alatt ér vissza a kilövés helyére a függőlegesen fellőtt csapágygolyó?

\(\Delta t_{\mathrm{össz}}=10\ \mathrm{s}\)

Az előbb kiszámoltuk, hogy a felső holtpontról visszafelé tartó szakasz \(5\ \mathrm{s}\) ideig tart. A felfelé szakasz ugyanennyi ideig tart, hiszen annál a kezdő- és végsebesség (felcserésve, de) ugyanakkora, mint a lefelé szakaszon, így az átlagsebesség azonos a két szakaszon, valamint a megtett út is azonos a két szakaszon. Márpedig azonos átlagsebességgel azonos utat csak azonos idők alatt lehet megtenni:

\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s}{\Delta t}\]

Így a teljes (fel-le) mozgás időtartama:

\[\Delta t_{\mathrm{össz}}=10\ \mathrm{s}\]

c)  Függőlegesen fellőve mennyi idő alatt éri el a csapágygolyó a 15. emeletig (45 méteres magasságba)?

1 másodperc múlva

1. megoldás

Megint mondhatjuk, hogy minden magasságban igaz, hogy a sebessége felfelé menet illetve lefelé jövet azonos. Ezért úgy is számolhatunk, hogy fentről (125 méter magasból) indulva a 45 méteres magasságot 80 méternyi út megtétele után éri el. Vagyis azt kell kiszámolnunk, hogy egy kezdősebesség nélkül elejtett test mennyi idő alatt zuhan 80 méter, és majd ezt kivonjuk a teljes 5 másodpercből. Írjuk fel az úttörvényt:

\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Az adatokat SI egységben beírva:

\[80=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[80=5\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[16={\left(\Delta t\right)}^2\]

\[\Delta t=\sqrt 16\]

\[\Delta t=4\ \mathrm{s}\]

Vagyis kereken 1 másodperc alatt ér fel a csapággyolyó 45 méter magasságra.
 

2. megoldás

Alkalmazhatjuk a kezdősebességes, egyenletesen változó mozgás képletét is, vagyis a felfelé menő szakaszt nézzük:

\[s=v_0\cdot \left(\Delta t\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Most figyelembe kell vennünk, hogy a kezdősebesség (ami felfelé irányú), az ellentétes a gyorsulás irányával (ami lefelé irányú), vagyis az előjelük eltérő. Vegyük mondjuk felfelé a pozitív irányt! Ekkor a kezdősebesség pozitív előjelű lesz, a gyorsulás pedig negatív. Mindent SI egységben beírva:

\[45=50\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot \left(-10\right)\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[45=50\cdot \Delta t-5\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[9=10\cdot \Delta t-{\left(\Delta t\right)}^2\]

Szokásos alakra hozva:

\[{\left(\Delta t\right)}^2-10\cdot \Delta t+9=0\]

Ezt másodfokú megoldóképlettel is megoldhatjuk, de "ránézésre" szorzattá is alakíthatjuk:

\[\left(\Delta t-1\right)\cdot \left(\Delta t-9\right)=0\]

Vagyis két megoldásunk van:

\[\Delta t_1=1\ \mathrm{s}\]

\[\Delta t_1=9\ \mathrm{s}\]

Amiatt kaptunk 2 megoldást, mert a csapágygolyó először felfelé menet ér 45 méter magasba (1 másodperccel a kilövédés után), majd a felső holtpontról visszazuhanva újra eljut 45 méter magasságba (9 másodperccel az indulás után).

d)  Függőlegesen fellőve mekkora sebességgel halad el a panelházak tetejének \(45\ \mathrm{m}\)-es magasságában a csapágygolyó?

\(v=40\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)

Mivel a kilőtt csapágygolyó sebessége a nehézségi gyorsulással változik, vagyis felfelé menet másodpercenként \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal csökken, ezért mire 1 másodperc múlva eljut 45 méter magasba, a sebssége \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal kisebb lesz, mint a kezdeti \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{m}{s}}\), azaz \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal fog elhaladni a 15. emeletnél.

A sebesség időfüggésével is felírhatjuk mindezt:

\[v=v_0+a\cdot \left(\Delta t\right)\]

Ügyelve az előjelekre, mindent beírunk SI egységben:

\[v=50\ \mathrm{\frac{m}{s}}-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot \left(1\ \mathrm{s}\right)\]

\[v=50-10\cdot 1\]

\[v=40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]