Keringési (kerületi) sebesség
A kozmikus sebességek tárgyalásakor levezettük, hogy egy égitest körüli centrális gravitációs mezőben körpályán keringő objektumos \(r\) pályasugara és \(v\) keringési (kerületi) sebessége között fennáll:
\[v=\sqrt{f\frac{M}{r}}\]
ahol \(f\) a gravitációs konstans, \(M\) a vonzócentrum tömege (a keringő test tömegétől pedig független a létrejövő mozgás). Ez alapján ha a keringés "messzebb" (nagyobb \(r\) sugarú körpályán) zajlik, akkor a gyökjel alatti tört nevezője nagyobb, amitől a tört kisebb lesz. Mivel a gyökfüggvény monoton növelvő, ezért a kisebb törtnek a négyzetgyöke is kisebb. Tehát a távolabb keringő objektumnak mindig kisebb a keringési sebessége.
Szögsebesség
Mi következik ebből a szögsebességekre? A \(v\) sebesség és az \(\omega\) szögsebeség között fennáll:
\[v=r\cdot \omega\]
Ezt beírva a fenti egyenletbe:
\[r\cdot \omega=\sqrt{f\frac{M}{r}}\]
\[\omega=\frac{1}{r}\sqrt{f\frac{M}{r}}\]
\[\omega=\sqrt{\frac{1}{r^2}}\cdot \sqrt{f\frac{M}{r}}\]
\[\omega=\sqrt{f\frac{M}{r^3}}=\sqrt{fM}\frac{1}{\sqrt{r^3}}\]
Nagyobb körpálya sugár esetén a nevezőben lévő \(r^3\) nagyobb, így a gyökjel alatti tört értéke ilyenkor kisebb. Mivel a négyzetgyökfüggvény monoton növekvő, ezért kisebb törtnek a négyzetgyöke is kisebb. Azt kaptuk, hogy a távolabb keringő objektumnak mindig kisebb a szögsebessége.
Keringési idő (periódusidő)
Az \(\omega\) szögsebesség és a \(T\) keringési idő (periódusidő) között fennáll:
\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]
Vagyis a szögsebesség és a keringési idő fordított arányosak. A távolabb keringő testnek kisebb a szögsebessége, amihez nagyobb keringési idő tartozik. Tehát a távolabb keringő objektumnak mindig nagyobb a periódusideje. Például a Nap körül keringő bolygók, bár nem körpályákon keringenek, de rájuk is fennáll, hogy az egyre távolabbiaknak egyre nagyobb a keringési ideje:
| bolygó | átlagos távolság * | \(T\) |
| Merkúr | 0,4 | 0,24 év |
| Vénusz | 0,7 | 0,6 év |
| Föld | 1 | 1 év |
| Mars | 1,5 | 1,9 év |
| Jupiter | 5,2 | 12 év |
| Szaturnusz | 9,6 | 29,5 év |
| Uránusz | 19,2 | 84 év |
| Neptunusz | 30 | 165 év |
* az átlagos távolság a Naptól értendő, méghozzá Cs.E.-ben (csillagászati egység), ami a Nap-Föld átlagos távolságot jelenti (kb. 150 millió km).
Az előzőkbena szögsebességre kapott képletet beírva:
\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]
\[T=\frac{2\pi}{\sqrt{f\frac{M}{r^3}}}\]
amiből:
\[\frac{\ \ T^2}{\ r^3}=\frac{4\pi^2}{fM}\]
(ami nem más, mint Kepler III. törvénye egy speciális ellipszisre, a körre).
Energiák
Milyen hatással van a pályasugár a keringő objektum mozgási energiájára, gravtációs potenciális energiájára illetve összes mechanikai energiájára? Ezt tárgyalja az égi mechanikai paradoxon oldal.