A térerősség
Már megismertük a Coulomb-törvényt, mely két pontszerű, egymástól \(r\) távolságban lévő \(Q_1\) és \(Q_2\) töltés közötti erőt írja le:
\[F_{\mathrm{C}}=k\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}\]
Nézzünk erre egy olyan esetet, hogy az egyik töltés \(Q\), nevezzük őt "forrástöltésnek", mert az ő általa keltett (az őt körülvevő) elektromos mezejébe fogjuk belehelyezni a többi töltést, amiket vizsgálunk. Tőle \(r\) távolságra helyezzünk el egymás után először egy \(q\) "próbatöltést", aztán ennél egy 2-szer nagyobb töltést, majd pedig egy 3-szor nagyobbat is, ugyanabba a pontba! Az ábrán amiatt nem pont ugyanoda lettek ezek berajzolva, mert így (egymás alatt) egyszerre ábrázolhatjuk őket, de valójában ugyanazon a helyen vannak mindhárman.
A Coulomb-törvény alapján a három próbatöltésre ható erőről azt tudjuk mondani, hogy mindhárom esetben közös:
- az egyik töltés, nevezetesen a \(Q\)
- a töltések közötti távolság
ezért a jobb oldalon a \(2q\)-ra 2-szer nagyobb erő fog hatni, a \(3q\)-ra pedig 3-szor nagyobb:
Ezt a tényt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a próbatöltésekre ható erő egyenes arányos a töltéssel:
\[F\sim q\]
Egyenes arányosság esetén a két mennyiség hányadosa állandó:
\[\frac{F}{q}=\mathrm{konst.}\]
Ez az állandó (konstans) érték tehát független attól, hogy mit teszünk oda (mekkora próbatöltést, \(q\)-t, \(2q\)-t vagy \(3q\)-t). Csak attól függ, hogy a bal oldali töltés "milyen elektromos mezőt" hozott létre ebben a pontban, ahová az imént odaraktuk a \(q\)-t, \(2q\)-t, \(3q\)-t. Nevezzük el ezt a konstans értéket egy külön betűvel:
\[\frac{F}{q}=E\]
Rendezzük ki ebből az erőt:
\[F=E\cdot q\]
Vagyis ez az \(E\) azt mondja meg, hogy "hányszor akkora a próbatöltésre ható erő, mint a próbatöltés". Ha az \(E\) nagyobb értékre változik, akkor ugyanolyan \(q\), \(2q\), \(3q\) próbatöltéseket használva nagyobb erők keletkeznek. Tehét ez a \(E\) az elektromos mező egy adott pontjáról szól, hogy ott milyen nagy erőkgognak ébredni, azaz "mennyire erős" ott az elektromos mező, más néven az elektromos tér. Etzért az \(E\) konstanst "elektromos térerősségnek" nevezzük el.
Mi a térerősség mértékegysége? Ezt a térerősség definíciós egyenletéből megkaphatjuk:
\[[E]=\frac{[F]}{[q]}\]
\[[E]=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\]
Most már egy akármilyen elektromos mező minden pontját le tudjuk írni ezzel a módszerrel: odahelyezünk az elektromos mező adott pontjába egy \(q\) próbatöltést, megnézzük, hogy mekkora \(F\) erővel hat rá ott az elektromos mező, a kettőt elosztjuk egymással, és a kapott \(E\) térerősség érték jól jellemzi az elektromos mezőt abban a pontban, hiszen ennek segítségével már bármilyen odahelyezett töltésről meg tudjuk mondani, hogy mekkora erő fog rá ott hatni, hiszen a térerősségetés az odahelyezett töltést kell összeszorozni, például egy \(q_4\) töltésre ható erő:
\[F_4=E\cdot q_4\]
Erővonalak, fluxus
Ha egy elektromos mezőt szemléltetni akarunk, akkor az eddigiek alapján azt kell tennünk, hogy minden egyes pontban egy próbatöltésselkimérjük az ottani térerősséget, és be kellene rajzolnunk a pontból indítva az \(\vec{E}\) térerősségvektort. Azonban ezt minden pont esetén elvégezve egy "nyílzáport" kapnánk, ami átláthatatlan ábrát eredményezne. Már a legegyszerűbb esetben is, például amikor csak egyetlen pontszerű töltésünk van:
forrás: http://labman.phys.utk.edu
És hát sokkal több pontba is berajzolhattuk volna a térerősségvektorokat. Az átláthatóság érdekében Faraday kitalálta, hogy igen sok vektor helyett rajzoljunk inkább "erővonalakat", a következő szabályok alapján:
- a térerősség irányát úgy jelezzék az erővonalak, hogy mindenhol abba az irányba haladnak, amilyen irányú éppen ott a térerősség
- a térerősség nagyságát pedig úgy jelezzék az erővonalak, hogy nagyobb térerősségű helyeken sűrűbben futnak egymás mellett, míg kisebb térerősségű helyeken ritkábban vannak
Ezek segítségével a fenti, egyetlen pontszerű töltés körüli elektromos mezőt így ábrázolhatjuk:
Az erővonalaknak van irányuk, hiszen az erővonal minden pontjára igaz, hogy az ottani térerősség irányába "halad". Ezek alapján elektrosztatikus mezőben az erővonalak a pozitív töltésekből indulnak ki, és mindig negatív töltésekbe érkeznek meg, ahol aztán véget érnek:
Mivel az erővonalak minden pontjában az erővonal az ottani térerősség irányába kell, hogy "fusson", precízen fogalmazva: az erővonal érintő egyenesén fekszik mindig a térerősségvektor:
ezért nem lehetséges, hogy erővonalak metsszék egymást, mert ekkor eltérő irányú térerősséget "adnának ki":
Nagyobb forrástöltés nagyobb erővel hat a próbatöltésre, ezért nagyobb forrástöltés körül nagyobb az elektromos térerősség, vagyis az erővonalsűrűség is nagyobb, ami csak úgy lehetséges, ha a nagyobb forrástöltésből több erővonal jön ki:
Ha az "A" töltésnél a "B" töltés 2-szer nagyobb, a "C" pedig 3-szor, akkor:
Az erővonalak mennyiségét ("számát") elektromos fluxusnak hívjuk, és a görög \(\Psi\) betűvel jelöljük (ejtsd: pszí). Az elektromos fluxus mértékegysége:
\[[\Psi]=\mathrm{\frac{Nm^2}{C^2}}\]
Az erővonalak sűrűségét így kell meghatározni:
- felveszünk egy olyan felületet, mely mindenhol merőleges az erővonalakra
- megszámoljuk, hogy hány erővonal "döfi át" a felületet, ez az érték \(\Psi\) fluxus
- a felületet átdöfő erővonalak számát elosztjuk az erővonalakra merőleges felület \(A_{\bot}\) nagyságval
Tehát az erővonalak segítségével a térerősség nagysága:
\[E=\frac{\Psi}{A_{\bot}}\]
Fontos, hogy ennek a felületnek mindenhol merőlegesnek kell lennie az erővonalakra, ezért inhomogén mezőben a felületnek "széltől duzzadó vitorla" alakúnak kell lennie:
Ugyanis ha nem merőleges a felület, akkor sokkal kevesebb erővonal fogja átdöfni:
A Gauss-törvény
Na, de mennyi erővonal jön ki adott \(Q\) töltésből? A kijövő erővonalak száma (a \(\Psi\) fluxus) egyenesen arányos a töltés \(Q\) nagyságával:
\[\Psi\sim Q\]
ami azt jelenti, hogy a fluxus csak egy konstans szorzótényezőben térhet el a töltéstől. Ez a konstans mértékegységrendszerenként eltérő; az SI-mértékegységrendszerben:
\[\Psi=4\pi k\cdot Q=\frac{1}{\varepsilon_0}Q\]
ahol \(k\) a Coulomb-törvényben szereplő elektromos állandó:
\[k=9\cdot 10^9\ \mathrm{\frac{Nm^2}{C^2}}\]
az \(\varepsilon_0\) pedig szintén elektromos állandó, az ún. vákuum dielektromos állandója (más neveken abszolút dielektromos állandó, vákuumpermittivitás):
\[\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}\ \mathrm{\frac{As}{Vm}}\]
Mennyi erővonal jön ki egy elektronból? Semennyi, hiszen az elektron negatív, ezért benne csak végződni tudnak az erővonalak (kiindulni csak a pozitív töltésekből indulnak ki).
Akkor hány erővonal jön ki egy protonból? A proton töltése az \(e\) elemi töltés, ami \(e=1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\), amiből a Gauss-törvénnyel:
\[\Psi=4\pi k\cdot e\]
Mindent SI-egységben beírva a mértékegységek elhagyhatók:
\[\Psi_{e}=4\pi \cdot 9\cdot 10^9\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\]
\[\Psi_{e}=1,8\cdot 10^{-8}\ \mathrm{\frac{Nm^2}{C}}\]
A forráserősség
Egy elektromos mezőben vegyünk fel egy tetszőleges zárt felületet (tehát most nem kell, hogy az erővonalakra mindenütt merőleges legyen a felület)! A szemléletesség kedvéért gondoljunk például egy felfújt lufi vékony gumimembránjára. Nézzük meg, hogy hány olyan erővonal van, mely kifelé jövet döfi át ezt a zárt felületet, és hány, amely befelé menet döfi át. A kifelé jövők számát vegyük pozitív előjellen, a befelé menők számát pedig negatív előjellel, és adjuk őket össze "előjelesen", ezt nevezzük a zárt felület forráserősségének. Ez meg fogja mutatni, hogy a zárt felületen belül mennyi töltés van, pontosbban a bent lévő töltések algebrai (előjeles) összegét. Vagyis az erővonalszerkezet "lebuktatja" a töltésekekt, pusztán az erővonalak vizsgálatával lokalizálhatjuk a bújkáló töltéseket. Ez alapján szokás mondani, hogy az elektrosztatikus mező "forrásos", és az erővonalainak forrásai az elektromos töltések. (Később látni fogjuk, hogy léteznek forrásmentes "örvényes" mezők is, elektromosból is és mágnesesből is.)