A súlyozott átlag

 Az "egyszerű" átlag (számtani közép) 

Példa: Pistike 3 napon át minden nap vett egy-egy egygombócos fagyit, mindig máshol. Az egyik helyen 400 Ft-ba került a gombóc, a másikon 600-ba, a harmadikon 500-ba. Mennyiért vett átlagosan egy gombóctot?

$$\frac{400+600+500}{3}=\frac{1500}{3}=500$$

Általában $N$ darab $K_i$ adat esetén: (ahol $i=1; 2; ...N$ az ún. futóindex) a $K_i$ számok átlaga, más néven számtani (aritmetikai) közepe:

$$K_{\mathrm{átl}}=\frac{K_1+K_2+...K_{N}}{N}$$

 A súlyozott átlag 

Az előző péda annyiban speciális volt, hogy minden megvett gombóc különböző összegbe került (nem szerepelt többször ugyanaz az ár). De az életben nemcsak ilyen speciális esetek fordulnak elő. 

 1. példa 

Mi a helyzet, ha bonyolítjuk a dolgot, és a diák továbbra is minden nap elmegy valamelyik fagyizóba, de ott nemcsak egy-egy gombócot eszik, hanem hol többet, hol kevesebbet? Például:

Mennyibe került neki így átlagosan egy gombóc? Ehhez számba kell venni, mennyit fizetett összesen a gombócokért, és el kell osztani az összes megevett gombóc számával.

Erre két lehetőségünk van:

1. Egyszerűen összeadjuk minden egyes megevett gombóc árát, és az erdményt elosztjuk az összes gombóc számával:

$$\frac{400+400+600+500+500+500}{8}=\frac{3800}{6}=483,3$$

Így egyszerű átlagot számoltunk minden egyes gombóc árából (ez még nem a súlyozott átlag).

2. De a számlálóban a "mennyit fizettünk az összes gombócért" számot nemcsak úgy kaphatjuk meg, hogy "egyszerűen" összeadjuk az összes megvett gombóc árait, hanem úgy is, hogy megnézzük a "gombócárakat" (400; 500; 600), és minden gombócárat megszorozzuk annyival, ahány darabot vettünk belőle, és ezeket a szorztokat adjuk össze (aztán elosztjuk a gombócok számával). Egyenlettel:

$$\frac{400\cdot 2 +600\cdot 1 +500\cdot 3}{6}=483,3$$

Igazából ez nagyon hasonlít az előző felíráshoz, csupán annyit módosítottunk, hogy csoportokba szedtük össze az azonos árú gombócokat, megnézve, hogy az adott gombócár hányszor fordult elő. Ezáltal igazából különböző súllyal vettük számításba a gombócárakat az átlagban, azért, mert az egyik árat többször adtuk ki, a másikat pedig kevesebbszer. Azt, hogy valamely gombócárnak mekkora az átlagban a súlya, azt az dönti el, hogy hányszor fizettük ki azt a gombócárat. Ezt a számot súlytényezőnek, súlyfaktornak hívjuk. Tehát minden értékhez (gombócárhoz) hozzátartozik az ő súlyfaktora:

• a 400 Ft-os árnak a súlyfaktora 2, mert 2 alkalommal fizettünk ekkora árat egy gombócért
• a 600 Ft-os árnak a súlyfaktora 1, mert 1 alkalommal fizettünk ekkora árat egy gombócért
• az 500 Ft-os árnak a súlyfaktora 3, mert 3 alkalommal fizettünk ekkora árat egy gombócért

Itt láthatóvá vált a súlyozott átlag egyik előnye: sok azonos szám esetén nem kell kell sok összeadást elvégeznünk, hanem szorzással egyszerűbben kiszámolhatjuk az átlag számlálóját.

Általában a súlyozott átlagot így írhatjuk fel, ha a $K_i$ érték $S_i$ alkalommal szerepelt, azaz a $K_i$ értéknek a súlyfaktora az átlagban $S_i$:

$$\boxed{K_{\mathrm{átl}}=\frac{K_1\cdot S_1+K_2\cdot S_2+...K_N\cdot S_N}{S_1+S_2+...S_N}}$$

Vegyük észre, hogy nevezőben a súlyfaktorok összege szerepel, nem az, hogy hányféle értéknek vettük az átlagát (ahogy a számtani középnél). 

 2. példa 

Az egyik hónapban 3-szor tankoltunk, különböző benzinkutakon, különböző benzinárakon:

Itt már nem is tudnánk egyszerű átlagot számolni (vagyis a számlálóban összeadni minden egyes megvett liternek az árát), mivel nem egész litereket tankoltunk. Itt csa súlyozott árlaggal tudunk számolni, vagyis az árakat kell súlyoznunk a megvett mennyiségekkel:

$$K_{\mathrm{átl}}=\frac{723 \cdot 26,3+698 \cdot 46,5+711\cdot 35,1}{26,3+46,5+35,1}$$

$$K_{\mathrm{átl}}=\frac{76\ 428}{107,9}$$

$$K_{\mathrm{átl}}=708,32$$

Összefoglalva: az egyszerű átlag és a súlyozott átlag viszonyát

A fizikában sokszor szerepel súlyozott átlag, például ha a mozgás egyenletes sebességű szakaszokból áll, olyankor az átlagsebesség a sebességek idővel súlyozott átlaga.