A bomlásképes magok száma
A radioaktív bomlás statisztikusan leírható, véletlenszerű folyamat. Lehetetlen megjósolni, hogy egy konkrét, bomlásképes atommag mikor fog elbomlani, csak azt lehet megadni, hogy adott idő alatt mekkora valószínűséggel fog a bomlás bekövetkezni.
A bomlásra képes magok (darab)számát \(N\) betűvel szokás jelölni. A folyamat kezdetét még meglévő, bomlásképes magok számát \(N_0\) jelöli. Ha ezután \(t\) idő eltelik, azalatt a bomlásképes magok száma megváltozik, hiszen valahány mag elbomlik, és megmarad \(N_t\) számú bomlásképes mag. Egy mennyiség megváltozása mindig azt jelenti, hogy a későbbi értékből kivonjuk a korábbit:
\[\Delta N=N_t-N_0\]
Mivel a bomlásképes magok száma folyamatosan csökken, ezért a \(\Delta N\) mindig negatív értékű:
\[\Delta N=N_t-N_0<0\]
Mindig a kezdeti érték és a változás adja ki az új értéket:
\[N_t=N_0+\Delta N\]
Talán furcsa, hogy miért nem "kivonunk" valamennyit a magok kezdeti \(N_0\) számából, de jól van ez így, hiszen a \(\Delta N\) mindig negatív értékű, így teljesül, hogy a magok száma egyre csak csökken:
$$N_t<N_0$$
Az \(A\) aktivitás
Egy radioaktív minta \(A\) aktivitása azt jelenti, hogy egységnyi idő alatt (SI mértékegységrendszerben másodpercenként) hány bomlás történik:
\[A=-\frac{\Delta N}{\Delta t}\]
Itt a tört előtt amiatt van egy míniusz előjel, mert az aktivitás (mint a megtörtént bomlások száma) definíció szerint mindig pozitív értékű, márpedig ez csak akkor jön ki, ha a negatív \(\Delta N\) és a pozitív \(\Delta t\) hányadosa (ami mindig negatív) elé beírunk egy negatív előjelet. Az orvostudományban az aktivitást gyakran a \(\Lambda\) (nagy görög lambda) betűvel jelölik.
Vannak olyan izotópok, melyek igen gyorsan bomlanak, mondjuk a másodperc milliárdod része alatt már elbomlik az magok fele, egy újabb milliárdod másodperc alatt a maradéknak a fele is elbomlik stb. Ekkor egy röpke tizedmásodperc múlva már gyakorlatilag semmi nem marad az eredeti magokból. Ilyenkor látszólag nincs értelme a másodpercenkénti bomlások számának. Ezért precízebben fogalmazva az aktivitás azt jelenti, hogy egy "kellően" rövid \(\Delta t\) időt nézve (olyan rövidet, ami alatt a bomlások még egyenletesen zajlanak, vagyis ezalatt "nem ritkulnak") mekkora a \(\displaystyle -\frac{\Delta N}{\Delta t}\) hányados. Analógiaként gondoljunk arra, hogy ha beülünk az autóba, és csak 3 percet megyünk vele a közeli boltig, vagyis messze nem megyünk egy órát, attól még a bolt felé haladás sebességét $\mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}$ egységben is megadhatjuk.
Az aktivitás mértékegysége a definíciója alapján:
\[[A]=-\frac{[\Delta N]}{[\Delta t]}=\mathrm{\frac{1}{s}=becquerel=Bq}\]
vagyis hogy ne kelljen (macerásan) az \(\displaystyle \mathrm{\frac{1}{s}}\) törtet leírni, inkább Becquerel tiszteletére elnevezték az aktivitás egységét. Tehát \(1\ \mathrm{Bq}\) az aktivitása egy olyan mintának, amiben másodpercenként átlagosan egy bomlás zajlik, de ezt ne is nevezzük radioaktív mintának, hiszen a közönséges tárgyak mindegyikében állandóan zajlanak radioaktív bomlások, például egy átlagos emberben másodpercenként kb. 8000 bomlás történik, főleg a testünkben lévő \(\mathrm{{}^{40}K}\) és \(\mathrm{{}^{14}C}\) izotópok miatt (kb. \(5000\ \mathrm{Bq}\) illetve \(3000\ \mathrm{Bq}\)).
Néhány gyakorlati aktivitásérték:
| minta | aktivitás |
| átlagos emberi test $(70\ \mathrm{kg)}$ | \(\approx 8000\ \mathrm{Bq}\) |
| 1 db banán | \(\approx 14\ \mathrm{Bq}\) |
| \(\mathrm{{}^{60}Co}\) minta (sugárterápiához) | \(4\cdot 10^{14}\ \mathrm{Bq}\) |
| $1\ \mathrm{gramm\ {}^{226}Ra}$ (rádium) | \(3,7\cdot 10^{10}\ \mathrm{Bq}=\) \(=37\ \mathrm{GBq}\) |
| $1\ \mathrm{gramm}$ természetes urán | \(25\ 300\ \mathrm{Bq}\) |
| A-10 tankelhárító repülő gépágyújának szegényített urán tartalmú lövedéke | \(4,4\ \mathrm{MBq}\) |
| $\mathrm{{}^{99m}Tc}$ tartalmú injekció (izotópvizsgálatban) | $\approx 100\ \mathrm{MBq}$ |
| Rudas-fürdő, Diana forrás $1\ \mathrm{liter}$ termálvíz radonaktivitása | \(600\ \mathrm{Bq}\) |
(Régen az $1\ \mathrm{gramm}$ tömegű $\mathrm{{}^{226}Ra}$ minta aktivitása volt az aktivitás mértékegysége curie néven. \(1\ \mathrm{Cu=3,7\cdot 10^{10}\ Bq}\))
A \(\lambda\) bomlási állandó
Vegyünk teljesen azonos radioaktív mintákat, azaz bennük a bomlásképes magok száma legyen kezdetben ugyanannyi. Az egyforma mintáknak az aktivitásaik is ugyanakkorák. Ha két ilyen, teljesen azonos mintát egyesítünk, akkor az egyesített mintában a bomlásképes magok száma is duplája lesz az eredeti mintákénak, meg az aktivitása is. Ha három (azonos) mintát egyesítünk, akkor a keletkező mintában a bomlásképes magok száma is háromszoros lesz, meg az aktivitás is. Levonhatjuk a következtetést, hogy az aktivitás egyenesen arányos a bomlásképes magok számával:
\[A\sim N\]
Ha két mennyiség egyenes arányos, akkor a hányadosuk állandó, azaz valamilyen \(k\) konstans:
\[\frac{A}{N}=k\]
illetve ezt az egyenletet átrendezve: a két mennyiség csak a \(k\) konstans szorztényezőben (az ún. arányossági tényezőben) térhet el egymástól:
\[A=k\cdot N\]
Jelöljük ezt a konstans szorzótényezőt \(\lambda\) betűvel, és nevezzük el bomlási állandónak:
\[\boxed{A=\lambda\cdot N}\]
Mi a jelentése a \(\lambda\) bomlási állandónak? Képzeljük el azt a szélsőséges esetet, hogy a radioaktív minta kezdetben csupán egyetlen bomlásképes atommagból áll, azaz
\[N_0=1\]
Ezt a fenti egyenletbe beírva:
\[A=\lambda\cdot 1\]
\[A=\lambda\]
vagyis a \(\lambda\) bomlási állandó azt mutatja meg, hogy másodpercenként hány bomlás fog megtörténni, ha a minta egyetlen bomlásképes magból áll, tehát hogy mennyi a bomlás valószínűsége egységnyi idő (1 másodperc) alatt. A helyes definíció ennél körülményesebb:
A bomlási állandó SI-mértékegysége:
\[[\lambda]=\mathrm{\frac{1}{s}}\]
Miért ilyen körülményes a bomlási állandó definíciója?
Miért nem csak annyi a definíció, hogy "mekkora valószínűséggel bomlik el egységnyi idő, azaz 1 másodperc alatt"?
Amikor egy adott izotópból álló mintának egy másodperc alatt annak csak kis hányada bomlik el, akkor könnyen számítható az egységnyi idő (1 másodperc) alatti bomlási valószínűség: például ha 1 másodperc alatt a magok 1%-a bomlik el, akkor 1%, azaz $P=\lambda =0,01$. Ilyenkor nem szükséges a fenti, körülményes szabály.
A gondok akkor kezdődnek, amikor egy izotópmintának az egységnyi idő (1 mp) kis töredéke alatt is jelentős hányada elbomlik: mondjuk egy századmásodperc alatt 50%-a elbomlik. Ekkor 1 mp alatt 100 alkallommal megfeleződik a bomlásképes magok száma, így aztán 1 másodperc múlva már csak:
$$\left({\frac{1}{2}}\right)^{100} \approx 10^{-30}$$
hányada marad meg, vagyis gyakorlatilag teljesen elbomlik az egész.
Ekkor az egyszerű definíció alapján azt kellene mondani, hogy 1 másodperc alatt az összes elbomlik, tehát a másodpercenkénti bomlási valószínűség 100% azaz $P=\lambda =1$. Miért nem lenne ez jó? Mert ha egy másik izotópmintában nem egy századmásodperc alatt bomlik el a magok fele, hanem egy milliomod másodperc alatt, arra ugyanúgy azt kapnánk, hogy "1 mp alatt 100% elbomlik, tehát 1 mp alatt a bomlási valószínűség $P=\lambda =1$". Tehát gyorsan bomló magokra a $\lambda$ bomlási állandó (egyszerű definíciója) semmitmondó fogalommá válna.
Viszont a fenti, körülményes definíció szerint (mivel az 1 másodperc 100-szor nagyobb a századdmásodpercnél) egyenes arányosan átszámolva az egységnyi (1 mp) időre $P=\lambda =0,5\cdot 100=50$ értéket kapunk. Ami látszólag azt jelentené, hogy a mag egy másodperc alatt $P=50$ valószínűséggel, azaz 5000% valószínűsággel bomlik el, ami hajmeresztő gondolat, hiszen a "biztos esemény" $P=1$ valószínűséget jelent, annál nagyobb pedig nem lehet egy valószínűség.
A probléma háttere az, hogy a $\lambda$ bomlási állandó nem szó szerint az egységnyi idő alatti elbomlás valószínűségét jelenti, hanem az ún. valószínűségi sűrűséget, ami pont a fenti példában bemutatott fogalom: egy kellően rövid időtartam alatti valószínűségnek az egységnyi időre való átszámolása egyenes arányossággal. De akkor miért kell mégis átszámolni egységnyi időre? Mert az értelmetlen lenne, hogy egy brit tudós megnézné egy adott izotópra, hogy az $1/100\ \mathrm{s}$ alatt mekkora valószínűséggel bomlik el, ezt elnevezné az izotóp bomlási állandójának, majd egy japán tudós megmérné ugyanezen izotópra, hogy annak $1/10\ \mathrm{s}$ alatt mekkora a bomlási valószínűsége, és ő azt nevezné $\lambda$ bomlási állandónak, hiszen az a mag, ami egy tizedmásodperc alatt mondjuk 50% valószínűséggel bomlik el, az egy századmásodperc alatt jóval kisebb valószínűséggel bomlik el. Ezért muszáj, hogy egységes legyen a definíció, ehhez pedig a legegyszerűbb, ha "vesszük az egységnyi idő alatti" bomlási valószínűséget, amit "arányosítva" teszünk meg, ezzel időnként (gyorsan bomló izotópok esetében) zavarosnak látszó eredményre jutva.
Ezért kell egy "kellően rövid" időtartamot néznünk, hogy valós képet kapjunk. De mennyi a "kellően" rövid? Annyi, ami alatt a bomlás üteme még állandónak tekinthető. De mivel az aktivitás egyenes arányos a bomlásképes magok számával:
$$A \sim N$$
ezért ez akkor teljesül, ha a bomlásképes magok száma szinte állandó, vagyis ha ez alat az idő alatt csak egy kis hányada bomlik el a magoknak. Például ha egy óra alatt bomlik el a fele, akkor 1 másodperc kellően rövid. De ha egy ezredmásodperc alatt bomlik el a fele, akkor egy ezredmásodperc alatt is felére változik az aktivitás, azaz a bomlási ütem, tehát ekkor már az ezredmásodperc sem kellően rövid, hanem mondjuk egy milliomod másodpercet kell nézni. De ha egy izotópnak 1 milliárd év alatt bomlik el a fele, akkor már az ezer év is "kellően rövid" pláne az egy év vagy az egy óra. Most már világos, hogy miért nem szükséges a körülményes $\lambda$ definíció, ha a felezési idő az egységnyi időnél (1 mp) jóval nagyobb.
Amikor egy lassan bomló izotópnál az 1 óra vagy 1 nap alatti bomlási valószínűséget átszámoljuk ("leosztással") $1\ \mathrm{s}$ egységnyi időre, abból nincs gond. De amikor mondjuk egy ezredmásodperc alatt elbomlik 50%, majd ezt átszámoljuk ("felszorzással") $1\ \mathrm{s}$ egységnyi időre, akkor az 1000-szer hosszabb idő miatt $P=0,5\cdot 1000=500$ vagyis 1-nél nagyobb (lehetetlenül nagy) valószínűség jön ki. De mi ennek a hajmeresztő dolognak a háttere? A "felszorzásnál" (az egyenes arányossággal számolás miatt) úgy vesszük, mintha az első ezredmásodpercet követő további 999 ezredmásodpercben ugyanannyi bomlás zajlana, mint az első ezredmásodpercben. Ez pedig nem mindig igaz. Ha például az első ezredmásodpercben már elbomlott a magok fele, hisz akkor a maradék, sokkal kevesebb mag a következő ezredmásodpercben sokkal kevesebb bomlást fog produkálni, hisz már "alig van ki elbomoljon". Ezért lesz hajmeresztően magas az 1 másodperces időtartamra számolt valószínűség.
Ennek megvilágítására egy szemléletes analógia: képzeljünk el egy bányát, ahol sok a bányaomlás, ezért átlagosan havonta meghal a dolgozók 10%-a. Próbáljuk összehasonlítani ezt a statisztikát más munkahelyekkel, de azokról csak olyan adataink vannak, hogy évente hány %-a hal meg a munkásoknak. Márpedig összehasonlítani csak az azonos mértékegységű adatok számérétkeit lehet, így szeretnénk megtudni a bányáról az egy év alatti halálozási valószínűséget. Ha 1 hónap alatt 10% azaz $P=0,1$ a valószínűsége az elhalálozásnak, akkor az ennél 12-szer hosszabb 1 év alatt 120% azaz $P=1,2$. Micsoda? Az nem lehet, hogy a biztos halálnál is nagyobb valószínűséggel fogok meghalni! Valóban én személyesen nem halhatok meg 1-nél nagyobb valószínűséggel. Sőt, az átlagos dolgozó sem halhat meg 1-nél nagyobb valószínűséggel. De ha az elhullottakat mindig pótoljuk új munkások felvételével, (abból a célból, hogy az elhalálozási ütem az első hónap szintjén fennmaradjon, hogy az egy évre jutó valószínűséget arányosítva megkaphassuk), akkor valóba az jön ki, hogy egy "átlagos dolgozó" 1 év alatt $P=1,2$ valószínűséggel hal meg, ami nem azt jelenti, hogy egy konkrét dolgozó évente 1,2-szer hal meg, hanem hogy az átlagos dolgozói élettartam a bányában kevesebb mint 1 év. Persze lesz, aki mindjárt az első hetén meghal, és lesz, aki 3 év múlva is még életben lesz, de az átlagos idő a haláláig kisebb lesz 1 évnél.
A radioaktív magoknál is ez a helyzet: ha a kezdeti nagyon rövid időre (mondjuk egy ezredmásodpercre) megmért bomlási ütem az első másodperc során állandó marad, akkor átszámolva semmi gond nem lesz. De ha az első ezredmásodperc során mért ütem nem marad fenn (mert a lezajlott bomlások érdemben csökkentik a bomlásképes magok számát, így a bomlási ütemet is), akkor a $\lambda$ bomlási állandóra kapott érték "félrevezető" lesz, mert azt mutatja, hogy mennyi valószínűséggel bomlott volna le egy átlagos mag, ha mindig azonnal pótoltuk volna az elbomlottakat.
Mindez egyetemi szinten
Az eloszlásfüggvény azt mutatja meg, hogy mekkora az esemény bekövetkezésének valószínűsége a $t=0$ időpillanattól a $t$ időpillanatig tartó időszakban összesen. Ez fel tudjuk írni a (nemsokára tárgyalandó)
\[N_t=N_0\cdot e^{-\lambda t}\]
bomlástörvény alapján, hiszen $N_0=1$ esetén a $t$ idő múlva még meglévő magok száma:
\[N_t=e^{-\lambda t}\]
Tehát az elbomlott magok számát (az elbomlás valószínűségét) úgy kapjuk meg, hogy a kezdeti magok számából (vagyis 1-ből) kivonjuk a folyamat végén még meglévők $N_t$ számát:
$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$
A sűrűségfüggvény ennek a változó (idő) szerinti deriváltja:
$$f(t)=\frac{d(F(t))}{dt}$$
$$f(t)=\frac{d}{dt} \left(1-e^{-\lambda t} \right)$$
$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$
Mivel a $t=0$ kezdeti időpillanatban az exponenciális tényező értéke 1, ezért az $f(t)$ sűrűségfüggvény kezdetben pont a $\lambda$ bomlási állandó, csakhogy a sűrűségfüggvény az idő előrehaladtával nem marad ennyi, hanem exponenciálisan csökkenni fog, méghozzá nagy $\lambda$ esetén gyorsan, míg kis $\lambda$ esetén lassan. Tehát amikor egységnyi időre jutó valószínűséget számolunk, akkor kellően kis $\lambda$ esetén gond nélkül feltételezhetjük, hogy a sűrűségfüggvény az időben lényegében állandó, így nagyobb (illetve kisebb) időtartamok alatt arányosan több (illetve kevesebb) bomlás zajlik. De nagy $\lambda$ esetén a sűrűségfüggvény időben gyorsan változik, ezért alaptalan állandónak tekintenünk, emiatt ha egyenes arányosan nagyobbra (illetve kisebbre) vesszük a valószínűséget egy nagyobb (illetve kisebb) időtartam alatt, azzal "eltávolodunk a valóságtól" és olyan hajmeresztő dologkat kapunk eredményül, mint hogy a valószínűség $P=5$.
Minél nagyobb a \(\lambda\) bomlási állandó, annál gyorsabban bomlanak a magok, azaz annál gyorsabban csökken a bomlásképes magok száma, és egyúttal az akivitás is:
A \(\tau\) élettartam
A bomlási állandó azt mutatja meg, hogy egy mag átlagosan mekkora eséllyel bomlik el egy másodperc alatt. Ennek megfordítottja, hogy átlagosan hány másodperc kell ahhoz, hogy elbomoljon. Ez utóbbi fogalom a bomlási állandó reciproka, amit élettartamnak hívunk (más elnevezése: közepes élettartam), és \(\tau\) betűvel jelölünk:
\[\tau=\frac{1}{\lambda}\]
A \(\tau\) élettartam SI mértékegysége a szekundum:
\[[\tau]=\mathrm{s}\]
A bomlástörvény
Az aktivitással kapcsolatban eddig két egyenletet írtunk fel:
\[A=-\frac{\Delta N}{\Delta t}\]
\[A=\lambda\cdot N\]
A két egyenlet bal oldalai megegyeznek, így a jobb oldalaik is. Tegyük őket egyenlővé:
\[-\frac{\Delta N}{\Delta t}=\lambda\cdot N\]
Ha végtelenül kis időre írjuk fel ezt az egyenletet, akkor egy differenciálegyenletet kapunk:
\[-\frac{dN}{dt}=\lambda\cdot N\]
Ennek a differenciálegyenletnek (itt nem részletezett módon megkapható) megoldása az alábbi függvény, amit bomlástörvénynek nevezünk:
\[\boxed{N_t=N_0\cdot e^{-\lambda t}}\]
Az \(N_t\)-t az idő függvényében ábrázolva egy exponenciális függvényt kapunk, méghozzá a negatív kitevő miatt egy szigorúan monoton csökkenőt:
Egy exponenciális függvény sosem éri el a vízszintes tengelyt (másképp fogalmazva: a végtelenben éri csak el), de a megmaradt magok száma nem lehet akármilyen kicsi szám, például nem lehet \(0,01\) értékű, hanem csak egész szám. Amikor a bomlástörvény szerint \(N_t\) már egynél kisebb, az azt jelenti, hogy addigra várhatóan már csak nulla vagy egy mag marad meg. Ráadásul a gyakorlatban ha a bomlásképes magok száma már nem túl nagy, akkor radioaktivitás szempontjából sokszor az már nullának vehető. Ugyanis képzeljük el, hogy maradt 200 bomlásképes mag. Jelenthet ez veszélyt az emberre nézve? Biztosan nem, hiszen láttuk, hogy egy átlagos emberi testben másodpercenként 8000 bomlás zajlik, tehát további 200 bomlás jelentéktelen korrekció. Amikor egy minta másodpercenként már csak olyan kevés bomlást produkál, ami révén a minta aktivitása már olyan kicsi, mint (egy vele azonos tömegű) közönséges, "nem radioaktív" test aktivitása, olyankor azt mondjuk, hogy a minta radioaktivitása "lecsengett", a minta aktivitása olyan kicsire csökkent, hogy a sugárzása "beleolvad" a környezti háttérsugárzásba.
Térjünk vissza az \(N_t\) bomlási törvény szerinti időfüggésére! A vízszintes tengellyel szemben a függőleges tengelyt mindenképpen metszenie kell a görbének, hiszen kezdetben a bomlásképes magok száma véges nagyságú. A görbe függőleges tengelymetszete mindig a magok kezdeti száma, azaz \(N_0\).
Mivel a bomlásképes magok száma és az aktivitás egyenesen arányosak, ezért az aktivitás időfüggése is az \(N_t\) függvényhez hasonló, azaz szigorúan monoton csökkenő exponenciális függvény:
\[\boxed{A_t=A_0\cdot e^{-\lambda t}}\]
Az alábbi grafikon egy gyorsan elbomló minta esetében mutatja, hogy 30 másodperces időszakok alatt mért beütásszámokat:
A görbe nem egy tökéletesen szép, íves exponenciális függvény. De ez nem mérési hiba, hanem a radioaktivitás valószínűségi természetének elkerülhetetlen következménye. Ehhez hasonlóan a magok számának függvénye is mindig ingadozik az exponenciális körül. Ha a magok száma igen nagy, akkor ezek a függvények "jobban hozzásimulnak" az exponenciálishoz, de akkor is mindig vannak benne ingadozások. Gondoljunk arra, hogy ha csak egyetlen bomló magunk van, az semmiképpen se tud kirajzolni egy exponenciális függvényt.
A \(\tau\) élettartam második jelentése
Mit lehet kiolvasni a bomlástörvényből a \(\tau\) élettartamra vonatkozóan? Ha az időmérés kezdetétől számítva
\[t=\tau\]
idő telik el, akkor
\[N_{\tau}=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot \tau}\]
de mivel
\[\tau=\frac{1}{\lambda}\]
ezért
\[N_{\tau}=N_0\cdot e^{-1}=\frac{N_0}{e}\]
vagyis \(\tau\) idő elteltével a bomlásképes magok száma az eredetinek \(e\)-ad részére csökken. Mivel
\[\frac{1}{e}\approx \frac{1}{2,718}=0,368=36,8\%\]
ezért a \(\tau\) élettartam jelentése úgy is szemléltethető, hogy ennyi idő alatt bomlik el a magok \(63,2\%\)‑a.
A \(T\) felezési idő
Az, hogy valami az \(e\)‑ad részére csökken, meglehetősen "tudósos" megközelítés. Ennél egy "hétköznapi" ember könnyebben el tudja képzelni, hogy valami a felére csökken. Ezért a \(\tau\) időtartam mellett bevezettek egy másik, jellemző időtartamot is, ami azt mutatja meg, hogy mennyi idő alatt csökken a bomlásképes magok száma a felére, azaz mennyi idő alatt bomlik el a kezdeti magok fele. Ezt hívjuk \(T_{1/2}\) felezési időnek (angolul: half-life), amit egyszerűen \(T\) betűvel is jelölhetünk, hiszen a folyamat kezdete óta eltelt időt \(t\)-vel fogjuk jelölni, így megkülönböztethetők. A felezési idő SI mértékegysége a szekundum:
\[[T]=\mathrm{s}\]
de az alkalmazásokban lehet perc, óra, év, de akár milliárd év is.
Hogyan illeszthető bele a felezési idő fogalma az eddigi bomlástörvénybe? Ha \(T\) idő eltelik, akkor a magok száma a kezdeti \(N_0\) értékről a felére csökken:
\[N_t=N_0\cdot e^{-\lambda t}\]
\[\frac{N_0}{2}=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot T}\]
\[\frac{1}{2}=e^{-\lambda \cdot T}\]
\[2^{-1}=e^{-\lambda \cdot T}\]
Vegyük mindkét oldal természetes alapú logatitmusát:
\[\ln{(2^{-1})}=-\lambda \cdot T\]
Alkalmazzuk az
\[\ln{(b^n)}=n\cdot \ln{b}\]
azonosságot, azaz "vigyük ki a logaritmus argumentumának kitevőjét a logaritmus elé":
\[-\ln{2}=-\lambda \cdot T\]
\[\ln{2}=\lambda \cdot T\]
Ebből kirendezhetjük a felezési időt:
\[\boxed{T=\frac{\ln{2}}{\lambda}}\]
illetve a bomlási állandót:
\[\lambda=\frac{\ln{2}}{T}\]
Ennek segítségével írjuk fel a bomlástörvényt a \(\lambda\) bomlási állandó helyett a \(T\) felezési idővel:
\[N_t=N_0\cdot e^{-\lambda t}\]
\[N_t=N_0\cdot e^{-\frac{\ln{2}}{T}\cdot t}\]
A bomlástörvény "2-es alapú" változata
De ez még nem olyan alakú, aminél jól látszódna a "feleződés". Ahhoz ugyanis az lenne jó, ha az exponenciális függvény alapja \(2\) illetve \(\displaystyle \frac{1}{2}\)) lenne. Hogy ezt elérjük, alakítsuk át a jelenlegi \(e^x\) típusú függvényt \(2^x\) függvénnyé. Ehhez használjuk fel, hogy az \(e^x\) és az \(\ln{x}\) függvények egymás inverzei, ezért "egymás hatását megsemmisítik":
\[e^{\ln{a}}=a\]
Ennek segítségével írjuk át a bomlástörvényt:
\[N_t=N_0\cdot e^{-\frac{\ln{2}}{T}\cdot t}\]
\[N_t=N_0\cdot e^{\ln{2}\cdot\left(-\frac{t}{T}\right)}\]
\[N_t=N_0\cdot \left(e^{\ln{2}}\right)^{-\frac{t}{T}}\]
Most már alkalmazhatjuk, hogy \(e^{\ln{2}}=2\), így megkapjuk a bomlástörvénynek a "2-es alapú exponenciálisos" változatát:
\[\boxed{N_t=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}}\]
Ezen már elég jól tátszanak a "feleződések", ugyanis a \(\displaystyle \frac{t}{T}\) kifejezés azt mutatja, hogy a felezési időnek hányszorosa telt el. Amennyi ez, akkora negatív szám szerepel a 2-es alapú hatvány kitevőjében, márpedig a 2-es alapú, negatív kitevőjű hatvány azt mutatja, hányszor történt "feleződés". Például ha a kitevő \(-5\), akkor 5-ször történt feleződés:
\[2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}\]
Ha a vízszintes tengely az idő, de az időt nem mondjuk másodpercben, mint egységekben mérjük, hanem a felezési idő az idő egysége, tehát a felezési idő egész számú többszöröseivel skálázzuk a tengelyt, akkor minden egységnyi lépés során megfeleződik a magok száma:
illetve a minta aktivitása is ugyanígy viselkedik: valahányszor eltelik a felezési idő, az aktivitás megfeleződik:
Ez nem csoda, hiszen a magok száma és az aktivitás
\[A=\lambda\cdot N\]
szerint mindig egyenesen arányosak.
A bomlástörvény "1/2 alapú" változata
A bomlástörvénynek létezik olyan alakja is, amiben az exponenciális függvény alapja \(\displaystyle \frac{1}{2}\), mert talán így látszik a legtisztábban a feleződés. Ehhez az iménti bomlástörvényben a \(2\) alap helyén \(\displaystyle \frac{1}{2}\)nek kell szerepelne. Ecélból beírjuk a \(2\) helyére, hogy
\[2={\bigg(\frac{1}{2}\bigg)}^{-1}\]
Azt kapjuk, hogy
\[N_t=N_0\cdot {\bigg(\frac{1}{2}\bigg)}^{(-1)\cdot(-\frac{t}{T})}\]
\[\boxed{N_t=N_0\cdot {\bigg(\frac{1}{2}\bigg)}^{\frac{t}{T}}}\]
Minél kisebb a \(T\) felezési idő, annál gyorsabban csökken a magok száma:
A \(\tau\) élettartam és a \(T\) felezési idő kapcsolata
Mindkét fogalom kapcsolatát már ismerjük a \(\lambda\) bomlási állandóval:
\[\tau=\frac{1}{\lambda}\]
\[T=\frac{\ln{2}}{\lambda}\]
Jól látható, hogy a második egyenlet jobb oldala \(\ln{2}\)‑szerese az első egyenlet jobb oldalának. Ezért a második egyenlet bal oldala is \(\ln{2}\)‑szerese kell legyen az első egyenlet bal oldalának:
\[T=\ln{2}\cdot \tau\]
\[T\approx 0,693\cdot \tau\]
Vagyis a \(T\) felezési idő mindig \(\ln{2}\)‑szöröse, azaz \(0,693\)‑szorosa a \(\tau\) élettartamnak. Ez érthető is, hiszen a felezési idő múlva még az eredeti magok fele, azaz 50%‑a lesz meg, míg az élettartam alatt a magok száma az \(e\)‑ad részére csökken, azaz a kezdeti 100%‑ból csak
\[\frac{1}{e}\approx 0,368=36,8\%\]
marad majd meg, aminek bekövetkezéséhez természetesen több idő szükséges.
A \(\tau\) élettartam harmadik jelentése
Egy minta aktivitása mindig folyamatosan csökken (akkor is, ha nagyon hosszú felezési idejű izotópoknál emberi időtartamok alatt ebből nem érzékelünk semmit). De játsszunk el a gondolattal, hogy mi történne, ha egy mintában mindvégig a kezdeti aktivitással zajlanának a bomlások! Vajon meddig "tartana ki" a kezdeti anyag?
A kezdeti aktivitás:
\[A_0=\lambda\cdot N_0\]
vagyis ennyi bomlás zajlik másodpercenként, tehát ennyivel csökken a magok száma másodpercenként. Ilyen ütem mellett mekkora \(\Delta t\) idő alatt fogy majd el a kezdeti \(N_0\) mennyiségű mag?
\[N_0-\lambda\cdot N_0\cdot \Delta t=0\]
\[N_0=\lambda\cdot N_0\cdot \Delta t\]
\[1=\lambda\cdot \Delta t\]
\[\Delta t=\frac{1}{\lambda}\]
De korábban már láttuk, hogy a \(\lambda\) bomlási állandó reciproka az a \(\tau\) élettartam. Vagyis a \(\tau\) másik jelentése, hogy ennyi idő alatt "fogyna el teljesen" az egész radioaktív minta, ha a kezdeti aktivitással bomlana folyamatosan.
Itt \(m\) a szaggatott egyenes meredekségét jelöli. Mivel a meredekség mindig egységnyi függőleges (y) változásra jutó vízszintes (x) változás:
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
ezért mivel a vízszintes tengely az idő, ezért a meredekség az egységnyi időre (1 másodpercre) jutó változása a magok számának, azaz majdnem a kezdeti aktivitás; annak a (-1)‑szerese:
\[m=-A_0\]
Az \(A\) aktivitás viszont mindig egyenes arányos a bomlásképes magok számával, méghozzá az arányossági tényező a \(\lambda\) bomlási állandó:
\[A=-\lambda \cdot N\]
ez alapján:
\[m=-A_0=-\lambda N_0\]
vagyis a piros szaggatott egyenes egyenlete:
\[y=mx+b\]
alakban így írható fel:
\[N_t=-\lambda N_0 \cdot t+N_0\]
Ez az egyenes hol (milyen \(t_0\) helyen) metszi az x tengelyt? Amikor a függőleges komponens nullává válik:
\[0=-\lambda N_0 \cdot t_0+N_0\]
\[\lambda N_0 \cdot t_0=N_0\]
\[\lambda \cdot t_0=1\]
\[t_0=\frac{1}{\lambda}\]
a \(\lambda\) reciproka pedig a \(\tau\) élettartam, ezért
\[t_0=\tau\]
Vagyis pont a \(\tau\) élettartam múlva fogyna el az összes bomlásképes mag, ha a kezdeti aktivitás mindvégig fennmaradna (de persze ez nem következhet be, hiszen az aktivitás folyamatosan csökken az időben, leszámítva persze a dolog statisztikus jellegéből adódó ingadozásokat).