A szilárd testek melegítés hatására általában kitágulnak, hűtés hatására pedig összehúzódnak. Egy tetszőleges alakú testen nehéz megragadni a tágulás mértékét, ezért kereshetünk valami egyszerűbb alakú testet, melynek lényegében csak egy irányban van kiterjedése, pontosabban szólva a többi irányban elhanyagolhatóan kicsi. Ez a hosszú, vékony rúd.
Jelölje $l_0$ a rúd kezdeti hosszát (ejtsd: "ell‑null"; a nulla arra utal, hogy a kezdeti, azaz nulla időpillanatban vett hossz). Ha a rúd hőmérséklete megváltozik $\mathit{\Delta} T$ értékkel, olyankor a rúd hossza is megváltozik, ezt a hosszváltozást jelöljük $\mathit{\Delta} l$ szimbólummal.
Ha kísérletekkel megvizsgáljuk hosszú vékony rudak $\Delta l$ hosszváltozását különböző $\Delta T$ hőmérséklet-változások hatására, akkor azt tapasztaljuk (ha a hőmérsékletváltozás nem túl nagy), hogy a $\Delta l$ hosszváltozás egyenesen arányos a hőmérséklet-változással:
\[\mathit{\Delta} l\sim \mathit{\Delta} T\]
tehát 2-szer, 3-szor akkora hőmérséklet-változás hatására a rúd hosszváltozása 2-szer, 3-szor nagyobb lesz.
Továbbá azt is tapasztaljuk, hogy a $\Delta l$ hosszváltozás egyenesen arányos a rúd $l_0$ kezdeti hosszával is:
\[\mathit{\Delta} l\sim l_0\]
vagyis a 2-szer, 3-szor nagyobb kezdeti hosszúságú rúd 2-szer, 3-szor nagyobb mértékben tágul ki (vagy húzódik össze, ha a hőmérsékletváltozás negatív). Ezt könnyen elhihetjük, ha elképzeljük, hogy két egyforma rudat egymás mellét téve melegítünk, mindegyik kitágul, és kettejük összesen 2-szer annyit tágul, mint az egyik.
A két egyenes arányosságot egyesítve:
\[\mathit{\Delta} l\sim l_0\cdot \mathit{\Delta} T\]
Ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor a hányadosuk állandó (konstans) érték:
\[\frac{\mathit{\Delta} l}{l_0\cdot \mathit{\Delta} T}=\mathrm{konstans}\]
A tapasztalat szerint ez a konstans a rúd anyagától függ (és a kezdeti hőmérsékletétől is, de erről később), ezért a rúd anyagára jellemző mennyiség, elnevezzük lineáris hőtágulási együtthatónak, és $\alpha $ szimbólummal jelöljük:
\[\alpha =\frac{\mathit{\Delta} l}{l_0\cdot \mathit{\Delta} T}\]
Mi az $\alpha $ jelentése? Az egyenlet alapján az $\alpha $ például olyan esetben egyezik meg a $\mathit{\Delta} l$ hosszváltozással, ha az $l_0$ kezdeti hossz nagysága 1 (azaz egységnyi), és a $\mathit{\Delta} T$ hőmérséklet-változás nagysága is 1 (egységnyi). Azaz ha $l_0=1\ \mathrm{m}$ valamint $\mathit{\Delta} T=1\ \mathrm{{}^\circ C}$. Tehát az $\alpha $ lineáris hőtágulási együttható megmutatja, hogy egy 1 méter hosszú rúd mekkora hosszváltozást szenved el $1\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletváltozás hatására.
Néhány anyag $\alpha$ lineáris hőtágulási együtthatója \(20\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os kiindulási hőmérséklet esetén:
| anyag | \(\displaystyle \alpha\ \left(\frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}}\right)\) |
| alumínium | \(2,39\cdot 10^{-5}\) |
| arany | \(1,42\cdot 10^{-5}\) |
| réz | \(1,62\cdot 10^{-5}\) |
| vas | \(1,13\cdot 10^{-5}\) |
| beton | \(1,2\cdot 10^{-5}\) |
| invar ötvözet | \(0,15\cdot 10^{-5}\) |
| porcelán | \(0,3\cdot 10^{-5}\) |
| ablaküveg | \(0,9\cdot 10^{-5}\) |
| hőálló üveg (boroszilikát) | \(0,3\unicode{x2013}0,4\cdot 10^{-5}\) |
| kvarcüveg | \(0,06\cdot 10^{-5}\) |
| ZERODUR® távcső üveg | \(0,0007\cdot 10^{-5}\) |
| jég (\(0\ \mathrm{{}^\circ C}\) körül) | \(5,1\cdot 10^{-5}\) |
Az előző egyenletet kirendezve a $\mathit{\Delta} l$ hosszváltozásra:
\[\mathit{\Delta} l=l_0\cdot \alpha \cdot \mathit{\Delta} T\]
illetve a rúd új hosszára rendezve:
\[l_1=l_0+\mathit{\Delta} l\]
\[l_1=l_0+l_0\cdot \alpha \cdot \mathit{\Delta} T\]
\[l_1=l_0\cdot \left(1+\alpha \cdot \mathit{\Delta} T\right)\]
Ezeket az egyenleteket hívjuk lineáris hőtágulási törvénynek.
Miért lineáris ez?
- egyrészt mert a test valamely lineáris méretének változását mutatja (nem pedig a felületének, a keresztmetszetének vagy a térfogatának változását)
- másrészt mert a tapasztalat szerint nem túl nagy hőmérséklet-változás esetén a szilárd testek valamilyen lineáris méretét a hőmérséklet függvényében ábrázolva a függvény képe egyenes (lineáris) lesz, például az alábbi grafikon egy \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékleten \(1\ \mathrm{m}\) hosszúságú alumíniumrúd hosszát mutatja egészen \(500\ \mathrm{{}^\circ C}\)-ig (a függőleges tengely az origóban nem nullától indul)
Az $\alpha$ lineáris hőtágulási együttható bonyodalmai
A lineáris hőtágulási törvény ugyan elég egyszerűnek tűnik, de alaposabban megnézve van mit rajta rágni, erről további részleteket itt lehet olvasni.