Az ütközési szám (ütközési együttható)

Egy ütközés vizsgálata során a testek helyzetét és sebességét leírhatjuk a szokásos módon, azaz inerciarendszerből szemlélve, de vannak előnyei annak is, ha az ütköző testek tömegközéppontjához "rögzített" vonatkoztatási rendszerben vizsgálódunk. Ezt tömegközépponti rendszerben történő leírásnak nevezzük (röviden TKP-i rendszernek). Ennek előnyei:

• nem kell gondolkodnunk, hogy a végtelen sok inerciarendszer közül melyiket használjuk (a TKP-i rendszer természetes módon kitüntetett rendszer)
• a TKP-i rendszerben a rendszer összes lendülete mindvégig nulla (hiszen a TKP lényege, hogy ha képzeletben ebbe a ponrba összesűrítjük a kiterjedt test összes tömegét, az így létrejövő, mozgó tömegpont "helyettesíti"azt)

Azért hogy ne maradjunk ki semmi jóból, használjuk mindkét lerást, és különböztessük meg színekkel az egyes vonatkoztatási rendszereket:

• jelöljük $\color{red}{\mathrm{piros}}$ színnel az inerciarendszerben vett sebességeket (talajhoz rögzített, "nyugvó" rendszer) 
• és $\color{blue}{\mathrm{kék}}$ színnel a TKP-hoz képesti (tömegközépponti rendszerben vett) sebességeket

Jelölje $v_1; v_2$ az ütközés előtti sebességeket, és $u_1; u_2$ az ütközés utániakat! A színkódokkal:    
  

Bármely ütközésben fennáll az inerciarendszerbeli sebességekre illetve a TKP-i sebességekre , hogy

$$\frac{\left|{\color{red} u_1-u_2 }\right|}{\left|{\color{red} v_1-v_2 }\right|}=\frac{{\color{blue} u_1 }}{{\color{blue} v_1 }}=\frac{{\color{blue} u_2 }}{{\color{blue} v_2 }}=k$$

vagyis inerciarendszerbeli sebességkülönbségek nagysága annyiadrészére csökken, ahányszorosan az egyes TKP-i rendszerben mért sebességek csökkennek. Ez az arányszám a $k$ ütközési szám.

 Rugalmas ütközések 

Rugalmas ütközésnek nevezzük, amikor az ütköző testek tömegközépponti sebességei nem változnak meg, így az inerciarendszerben mért sebességkülönbségeik abszolút értéke sem, emiatt $k=1$.

Nézzünk konkrétan egy egyszerű esetet! Ha két azonos billiárdgolyóból az egyik (a "bombázó") $\color{red}v$ sebességgel nekiütközik az állónak, akkor a bombázó az ütközés végére megáll, a kezdetben nyugvó pedig "átveszi" a sebességét. Úgyhogy a rendszer TKP-ja kezdetben is és a végén is \(\displaystyle \color{red}\frac{v}{2}\) sebességgel fog mozogni, amihez képest a golyók kezdetben is és a végén is \(\displaystyle \color{blue}\frac{v}{2}\) illetve \(\displaystyle \color{blue}-\frac{v}{2}\) tömegközépponti sebességűek, csak az ütközéskor sebességet cseréltek.

Ha a rugalmas ütközést inerciarendszerből írjuk le, akkor korábban láttuk, hogy az ütközés előtti sebességkülönbség (relatív sebesség) abszolút értéke "megmarad", hiszen:

$$\left|{\color{red} v_1-v_2 }\right|=\left|{\color{red} v-0 }\right|=\left|{\color{red} v }\right|$$

$$\left|{\color{red} u_1-u_2 }\right|=\left|{\color{red} 0-v }\right|=\left|{\color{red} v }\right|$$

Így aztán

$$\frac{\left|{\color{red} u_1-u_2 }\right|}{\left|{\color{red} v_1-v_2 }\right|}=k=1$$   
 

 Rugalmatlan ütközések 

A rugalmatlan ütközések esetén a tömegközépponti rendszerben vett sebességek mindkét résztvevőnél ugyanolyan arányban csökkennek, ezt az arányt mutatja a $k$ ütközési szám. Az ütközési szám a test anyagán kívül még sok mindentől függ, és nemcsak olyan nyilvánvaló dolgoktól, mint a hőmérséklet. Gondoljunk bele, hogy mennyire máshogy viselkedik egy tömör alumíniumgolyó és egy szintén alumínium anyagú, alufóliából összegyúrt "galacsin". Néhány anyagból készült tömör golyó közelítő ütközési száma:   

Ez alapján egyből érthető, hogy miért nem acél csapágygolyókkal billiárdoznak (túl azon, hogy egy billiárdgyolyó méretű csapágygolyó jóval drágább, mint egy műanyagból készült, és hogy acélgolyó esetén a meglökéséhez igen nagy erő kellene).

Az ütközési szám TKP-i rendszerben azt mutatja meg, hogy az ütköző testek tömegközépponti lendülete hányszorosára változik meg az ütközéstől. Rugalmasnál (amikor \(k=1\) áll fenn) egyáltalán nem változik, és minél inkább rugalmatlan egy ütközés, a tömegközépponti lendület a kezdeti értékének annál kisebb részére csökken. Ennek szélsőséges esete, amikor a tömegközépponti rendszerben vett lendület teljesen (tökéletesen) lecsökken, azaz nullává válik. Ez úgy lehetséges, ha az ütköző testek együtt haladnak tovább, ekkor ugyanis mindegyikük a tömegközéppont sebességével azonos sebességgel mozog. Ez a tökéletesen rugalmatlan ütközés, így a "tökéletes" kitétel máris értelmet nyer, ugyanis két szélsőséges eset van:

• lehető legnagyobb \(k\), ami \(k=1\) a rugalmas ütközés (a TKP-i lendület semennyit sem csökken)
• lehető legkisebb \(k\), ami \(k=0\) a tökéletesen rugalmatlan ütközés (a TKP-i lendület teljesen lecsökken, lenullázódik)

A \(k\) ütközési szám szerint számegyenesen ábrázolva az ütközések fajtáit, jól látszik, miért adják magukat a "tökéletesen" módhatározók: 

Azonban az energiák esetében a "tökéletesen rugalmatlan" kifejezés félrevezető. Ugyanis a mechanikai energia

• rugalmas ütközésekben teljesen megmarad
• rugalmatlan ütközésekben csökken (egy része vagy az egész rendezetlen termikus energiává, "hővé" alakul, disszipálódik)
• de a tökéletesen rugalmatlan ütközés nem feltétlenül jelenti azt, hogy az összes kezdeti mechanikai energia lenullázódik, "hővé alakul".

Gondoljunk arra az esetre, amikor egy száguldó autó egy álló autóba ütközik: összeakadva, közösen haladnak, azonos sebességgel. A lendületmegmaradás miatt nem lehet, hogy a kezdeti összes lendület eltűnjön, azaz hogy az ütközés végére mindkettő megálljon, így az ütközés után még marad mozgási energia is, nem tűnik el teljesen. Tökéltesen rugalmatlan ütközésben csak akkor tűnhet el teljesen (nullára) a kezdeti összes mozgási energia, ha a kezdeti összes lendület nulla volt (például két azonos tömegű gyurmagyolyót ellentétes sebességekkel egymásnak dobunk, vagy amelyiknek valahányszor nagyobb a tömege, annyiszor kisebb sebességgel ütközik a másiknak).   
 

 Összefoglalás 

Az ütközéseket összefoglalva táblázatban:      
 

A kezdeti mozgási energia még tökéletesen rugalmatlan ütközésnél is csak akkor csökkenhet nullára, ha a kezdeti összes lendület nulla volt. Ugyanis a lendületnek mindig meg kell maradnia, márpedig bármilyen irányú sebesség mozgási energiával jár együtt, így az ütközés végén csak akkor nem lesz mozgási energia, ha senkinek sincs sebessége. Ilyen például, ha két azonos gyurmagolyót azonos sebességgel egymásnak dobunk.