A tehetetlenségi erők (bevezetés)

A tehetetlenségi erők (bevezetés)

A tehetetlenségi erők (bevezetés) 4542 Link

A Galilei-féle tehetetlenség törvénye (más néven Newton I. törvénye) szerint ha egy testre nem hatnak erők (amit szokás "erőmentes" állapotnak nevezni), akkor a test megőrzi a meglévő sebességét, vagyis a sebességének sem a nagysága, sem az iránya nem fog változni. Ennek következtében az erőmentes állapot alatt mindvégig egyenes vonalú egyenletes mozgást fog végezni. Ennek egy spaciális esete, hogy ha az erőmentes állapot beálltakor a test sebessége nulla volt (vagyis a test nyugalomban volt). Ilyenkor a sebessége nulla is marad (megőrzi nyugalmi állapotát).

Newton II. törvénye pedig kimondja, hogy egy $m$ tömegű testre ható erők \(\mathit{\Sigma}\vec{F}\) összessége (eredője) mekkora $a$ gyorsulást fog előidézni a testen:

\[\mathit{\Sigma}\vec{F}=m\cdot \vec{a}\]

 Egy illúzió leomlik 

Bármennyire is híresek a Newton-törvények, és tekintünk rájuk áhitattal, mégis, a kísérletek szerint

 a Newton-féle mozgástörvények csak ritkán bizonyulnak érvényesnek. 

Példaként vegyünk egy autót, melyben ülünk, az ölünkben pedig van egy akvárium, félig vízzel töltve. Amikor az autó álló helyzetből elindul, azt látjuk, hogy a víz az akvárium hátsó falának csapódik és kiloccsan. De az autóból figyelve mindezt, nem világos, hogy milyen erő hatására indult el a víz az akváriumhoz képest ("Ki rántotta meg a vizet hátrafelé?"). Ugyanakkor ha kívülről nézzük ugyanezt az eseményt, akkor érthető az egész, hiszen a víz nyugalomban volt, és egyszer csak elmozdult az akvárium. Másik példa: egy egyenletes sebességgel haladó metróban ülünk, és a lábunk elé a padlóra helyezünk egy doboz gyufát. Amikor a metrószerelvény hirtelen fékez, a gyufásdoboz megindul előre felé, vagyis gyorsuló mozgást végez a metróhoz képest. De ki fejtett ki rá valami előre felé mutató erőt, amitő a fékezéskor gyorsulása lett? Kívülről nézve mindez érthető: a gyufásdoboz megőzize sebességét, csak alatta a metrószerelvény fékezett le. Harmadik példa, amikor a metrószerelvény egyenletesen halad, és a felső kapaszkodók függőlegesen lógnak lefelé, de fékezéskor a kapaszkodók ferdén kilendülnek előre felé, mintha valaki előre felé ható erőt fejetett volna ki rájuk. De kicsoda fejett ki erőt a kapaszkodókra? Ezekben az esetekben az a közös, hogy ha a mozgó (gyorsuló) járműben ülve figyeljü az eseményeket, akkor nem tudjuk megmondani, hogy a test gyorsulását milyen erő okozta, ki fejetette azt ki. Viszont kívülről nézve a jelenségek érthetők a newtoni mozgástörvényekkel.

A Newton-törvényekben szerepel a test sebességének időbeli változását mutató gyorsulás. Azonban a test sebességét sokféle vonatkoztatási rendszerben adhatjuk meg, és a különböző vonatkoztatási rendszerekben a test sebessége különböző. Ha kísérletekkel megvizsgáljuk a Newton-törvényeket, akkor azt tapasztaljuk, hogy azok csak bizonyos vonatkoztatási rendszerekben vizsgálódva bizonyulnak érvényesnek, míg más vonatkoztatási rendszerekben véve a test sebességét, gyorsulását már nem érvényesek. Most az egyszerűség kedvéért csak a Desartes-féle derékszögű vonatkoztatási rendszerekre gondoljunk. Ezeknek van egy origója, és három, egymásra merőleges (x; y; z) koordinátatengelye, melyek az origóból indulnak ki:

Két ilyen koordinátarendszer egymáshoz képest különféle mozgásokat végezhet:

  • a vonatkoztatási rendszerek origói egymáshoz képest haladó mozgást (transzláció) végezhetnek. Ez történhet állandó sebességgel (egyenletesen), vagy változó sebességel (gyorsulva).
  • a vonatkoztatási rendszerek tengelyei egymáshoz képest forgó mozgást végezhetnek (rotáció). Ez történhet állandó szögsebességgel ( egyenletesen), vagy változó szögsebességgel (szöggyorsulva).

Alaposan megvizsgálva a sokféle esetet, azt tapasztaljuk, hogy azok a vonatkoztatási rendszerek, melyekben a tehetetlenség törvénye érvényes, azok egymáshoz képest csak egyenletes haladó mozgást végeznek (tehát az origóik nem végeznek egymáshoz képest gyorsuló haladó mozgást, és a tengelyeik semmiféle egymáshoz képesti forgást nem végeznek). Ezeket a vonatkoztatási rendszereket inerciarendszereknek nevezzük.

Inerciarendszerből ezek alapján végtelen sok van. És van továbbá végtelen sok olyan vonatkoztatási rendszer, melyek nem inerciarendszerek, őket gyorsó rendszereknek hívjuk. Ez az elnevezés logikus, hiszen ha van egy inerciarendszerünk (jelöljük K-val), és egy nem inerciarendszerünk (jelöljük L-lel), akkor egy L rendszerhez képest álló testnek a K inerciarendszerből nézve mindenképp van gyorsulása. Ha ugyanis az L origója gyorsuló haladó mozgást végez a K origójához képest, akkor a test a K-ban nézve gyorsuló haladó mozgást fog végezni (lesz transzlációs gyorsulása). Ha pedig az L rendszer valamely tengelye forog a K rendszerhez képest, akkor az L-ben nyugvó test a K rendszerben forgó mozgást fog végezni, ami miatt a K-ban nézve mindenképpen lesz centripetális gyorsulása.
 

 Van egyáltalán inerciarendszer? 

Például a Föld felszínéhez rögzített ("lebetonozott") vonatkoztatási rendszerek ilyenek a tapasztalat szerint (nagy pontossággal mérve már) nem inerciarendszerek. Azonban az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszerek inerciarendszernek bizonyultak.

A számunkra nagy jelentőségű, földfelszínhez rögzített vonatkoztatási rendszerekkel kapcsolatban nézzünk két kérdést:

  • Mi okozza, hogy nem inerciarendszer?
  • Mennyire "nem pontosan" inerciarendszer egy ilyen?

A Föld felszínéhez rögzített rendszerek két okból sem inerciarendszerek:

  • a Föld bolygó az állócsillagokhoz képest nagyjából körpályán kering a Nap körül, emiatt a földfelszín pontjainak az inerciaredszerben van egy \(a_{\mathrm{cp\ ker}}\) centripetális gyorsulása
  • a Föld a saját tengelye körül is forog, emiatt a földfelszín pontjainak az inerciarendszerben van egy \(a_{\mathrm{cp\ forg}}\) centripetális gyorsulása (kivéve az Északi- és Déli-sarkot)
  • az egész Naprendszer kering a Tejútrendszer középpontjában lévő fekete lyuk körül, emiatt is van (nagyon kicsi) centripetális gyorsulása a Föld pontjainak

De mit is értsünk az alatt, hogy a földfelszínhez rögzített "hétköznapi" vonatkoztatási rendszer mennyire nem inerciarendszer, mennyire tér el attól? Induljunk ki abból, hogy mit is jelent, hogy nem érvényes Newton II. törvénye! Ez azt jelenti, hogy

\[\mathit{\Sigma}\vec{F}\neq m\cdot \vec{a}\]

vagyis az egyenlet nem áll fenn, az egyenlet két oldalán lévő mennyiségek nem egyeznek meg. Hogy lehetne megragadni, hogy "mennyire nem egyenlő" az egyenlet két oldala? A korrekt válasz az lenne, hogy mekkora eltérés van a két oldal között. De hát végtelen sok eset van, hisz egy tesre sok különböző fajta erő, különböző nagyságú erőt fejthet ki. Törekedjünk az egyszerűségre, és ennek jegyében képzeljünk el egy olyan testet, amelyre ható erők eredője nulla (erőmentes)! Ha Newton II. törvénye érvényes lenne, akkor egy ilyen testnek nulla gyorsulása kellene legyen. Értsük az inercisrendszerhez képesti "eltérés" alatt azt, hogy mekkora gyorsulást tapasztalunk az erőmentes test esetén a várt nulla gyorsulás helyett.

Erre vonatkozóan most nézzük (levezetés nélkül) csak az adatokat:

földfelszínhez
rögzített rendszer
gyorsuló mozgása
gyorsulás
nagysága
kerekítve
Nap körüli
keringés
$0,006\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {\ s^2}}}$

saját tengely
körüli forgás

változó;
legnagyobb értéke
az Egyenlítőn:

\(0,034\ \mathrm{ \displaystyle \frac{m}{\ s^2}}\)

Ezzel most abszolút értelemben megadtuk az eltérést nagyságát, de sokszor beszédesebb a relatív eltérés. De mihez viszonyítsunk? Egy földfelszíni testre számtalan erő hathat. De ezek között van egy olyan erő, ami mindegyik testre hat: ez az $m\cdot g$ nehézségi erő. Persze ez a viszonyítási alap választásunk önkényes, támadhatató, hiszen más (sokkal nagyobb vagy sokkal kisebb) erők is hathatnak egy testre, de legalább  mégiscsak valamennyire indokolható. Nézzük, mekkora gyorsulások jelentkeznek a $\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}$ nehézségi gyorsuláshoz képest amiatt, mert a Föld nem inerciarendszer:

földfelszínhez
rögzített rendszer
gyorsuló mozgása
gyorsulás
nagysága
kerekítve
relatív gyorsulás a

\(g=10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}\) 

$\%$-ában
Nap körüli
keringés
$0,006\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {\ s^2}}}$

\(0,06\%\)

saját tengely
körüli forgás

változó;
legnagyobb értéke
az Egyenlítőn

\(0,034\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}\)

\(0,34\%\)

Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy a Föld felszínéhez rögzített vonatkoztatási rendszer jó közelítéssel, fél $\%$‑nál is nagyobb pontossággal inerciarendszer. Ez alapján az olyan esetekben, amikor nincs szükségünk néhány ezrelékes pontosságra, olyankor inerciarendszernek vehetjük.
 

 Nem lehetne mégis?... 

De mit tegyünk az olyan vonatkoztatási rendszerek esetében, amikor az eltérés ennél is nagyobb? Két lehetőségünk van:

  • a Newton-féle mozgástörvényeket, mivel nem érvényesek, elvetjük, és helyettük megpróbálunk más mozgástörvényeket keresni
  • a Newton-féle mozgástörvényeket megpróbáljuk valahogy úgy módosítani, hogy érvényessé váljanak

Mivel az emberi természet része bizonyos értékű ragaszkodás a jól bevált dolgokhoz, ezért a tudománytörténetben az utóbbi úton zajlott a haladás. Azt mondjuk, hogy ha a testre ható valódi erők összessége (gyorsuló rendszerekben) nem adja ki a test tömegének és gyorsulásának szorzatát, akkor valósítsuk meg az egyenlőséget úgy, hogy bevezetünk fiktív, úgynevezett tehetetlenségi, "inerciális" erőket, melyek a gyorsuló rendszerünk inerciarendszerrekhez képesti mozgásaitól (is) függenek. Méghozzá ezek legyenek akkorák és olyan irányúak, hogy ha beírjuk őket Newton II. törvényébe, akkor az egyenlőség szépen teljesüljön. Ezek a tehetetlenségi erők nem léteznek, ugyanis nem tudunk rámutatni senkire és semmire, hogy "ő fejti ki" a tehetetlenségi erőket. Mégis sokszor hasznosak, mert időnként a jelenségek lerása egyszerűbb, könnyebben átlátható egy, az inerciarendszerekhez képest gyorsuló vonatkoztatási rendszerben szemlélődve.

A tehetetlenségi erők tehát segédfogalmak, nincsen fizikai valóságuk. Gyorsuló rendszerben vizsgálva, leírva a jelenségeket, a testek tökéletesen úgy mozognak, mintha a rájuk ható valódi erőkk mellett ezek a fiktív, tehetetlenségi erők is hatnának rájuk.

 A tehetetlenségi erők korrekciós tagok, amiket ha a dinamika alapegyenletébe beírunk, azzal annak érvényességét kiterjesztjük az inerciarendszerekhez képest gyorsuló vonatkoztatási rendszerekre. 

Tehetetlenségi erőből sokféle van, attól függően, hogy az inerciatendszerhez képest gyorsuló rendszerünk milyen gyorsuló mozgásokat végez, valamint attól is függően, hogy a testünk mozog-e a gyorsuló rendszerben vagy sem. Ha az egyszerűség kedvéért azt mondjuk, hogy a gyorsuló rendszerünk origója mozogjon \({\vec{a}}_0\) gyorsulással az inerciarendszer origójához képest, és forogjon az egyik tengelye körül (de csak egyenletesen), akkor háromféle tehetetlenségi erő hat egy mozgó testre:

  1. transzlációs tehetetlenségi erő (az origó gyorsulása miatt)
  2. centrifugális-erő (a tengely forgása miatt mindig)
  3. Coriolis-erő (a tengely forgása miatt, de csak mozgó testre)

Ezek mindegyikével külön foglalkozik egy-egy tudáscsepp.

A gyorsuló rendszer végezhet még ennél is bonyolultabb mozgást is, pl. nem egyenletes forgás (ez az ún. Euler-erőt okozza), de ezek tárgyalása már messze túlmutat a középiskolás fizika keretein.